二次根式的混合运算板书设计

二次根式的混合运算

洒渔中学：范广国

【重点难点剖析】

一、主要知识点

1．有理化因式

2．二次根式混合运算

（1）二次根式的加、减、乘与整式的加、减、乘类似，在实数范围内，过去学过的运算律仍然适用。

（2）二次根式的除法，一般是先写成分式的形式，然后通过分母有理化来进行。

二、重点剖析

1．

有理化因式

（1）二次根式的有理化因式不是唯一的，它可以相差一个常数，例如3的有理化因式可以是3,23,33……但在一般情况下，我们所找的有理化因式应是最简单的，例如：

8的有理化因式为2，5235的有理化因式为5235。

（2）一般常见的互为有理化的两个代数式有如下几种情形：

①a和a

②ab和ab；

③ab和ab；

④manb和manb

2．分母有理化的一般方法：用分母的有理化因式同时乘以分子和分母。

3．二次根式混合运算注意事项

（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先乘方、再乘除，最后加减，整式与分式的运算法则根式中仍然适用。

（2）二次根式的混合运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。

（3）二次根式混合运算中，每一个根式可看作是一个“单项式”，多个不是同类二次根式之和可以看成一个多项式，因此多项式乘法法则及乘法公式在根式运算中，仍然适用，以简便计算。

（4）在二次根式的综合运算中，除按运算顺序进行以外，还要注意分式性质的灵活运用。

例如可以由ab11来计算

abab313221(32)(21)(32)(21)121132

【典型例题】

例1 计算

（1）（2）21321223

1152152[()()]

22553233mn

)a2b2nm2)6

31532nabn2（3）(amnmmm（4）b(32)(322分析（1）可运用ab(ab)(ab)计算

（2）每个二次根式分别进行分母有理化，再进行二次根式的加减运算。

（3）把括号中的每一项化成最简二次根式，再根据整式除法法则，

aba1进行运算。

b

（4）可把除式成分式，再根据分母有理化进行计算。

1151515151()()51

2222555(31)3(53)(23)2

（2）原式

(31)(31)(53)(53)(23)(23)解（1）原式155153175(743)43

2222a2ab11m

（3）原式(

mnmnmn)22mmmnaba2ab11a2ab1a2ab1mn22mnmn



2222mabnabmnab6(32)(32)6632

（4）原式

(32)(32)6632611752323

3223232364332例2

化简

(63)(32)



分析

本题如果按一般方法分母有理化，不容易作出来，又不可能直接约分，但如果注意到64332(63)3(32)，可运用关系：解

原式ab11来计算。

abab63(63)(32)(63)(32)13



3263

326362

例3

先化简再求值。

3(32)

[4(ab)(ab)abab(ba)]abab，其中a=3，b=4 分析

根据本题特点，可先通分做加法，后做除法进行化简，再代入。

解

原式[



4abab(ab)(ab)(ab)2ab(ab)(ab)(ab)2ab(ab)(ab)abab

]abab

1ababba

abab4332

3432

当a=3

b=4时

原式=例4

已知x

3232,y32

求代数式3x25xy3y2的值

分析

先将x，y化简，多项式可用x+y及xy的形式表示，为此求出x+y，xy，最后代值计算。

解

∵x323232∴xy52652610

xy(526)(526)1

∵3x25xy3y23(x2y2)5xy3[(xy)22xy]5xy

3(x1)211xy

将x+y=10，xy=1代入，得

原式310111289

2526

y32526

例5

设1162的整数部分为x，小数部分为y，求xy2的值。

y分析

先对1162进行化简，1162可以进行配完全平方。

解

116211218(9)2218(2)2(92)2

9232

通过估算可知32的整数部全为1，则

y(32)122

22xy1(22)32225

y22例6 把下列各式分母有理化

（1）12235

（2）11236

分析

分母里所含根号的个数多于两个，分母有理化时注意技巧，（1）题可分子分母同乘以（2）题先用因式分解的方法把分母化为积的形式

235，12(235)12(235)解

（1）原式

(235)(235)26

233230

（2）原式

1(12)3(12)1(21)(31)

(21)(31)(21)(31)(21)(31)54326231

21999例7

已知a171，求(a2a17aa18a17)的值

分析

直接把a 的值代入代数式计算，显然太繁，可把条件和要求的代数式同时变形，再代入计算

解

∵a171

∴a117

（a+1）2 =17 5423222

原式a2a(a1)aa[(a1)1](a1)1999

1999

[a2a(a2aa)a(a2a2)aa2a1]

(aaa2a2aa2a1)232322199954543222

(1)19991

3点评：由a117即(a1)217，本题中的17a写成(a1)a，18a写成

17a+a=[(a1)1]a，以便对所求代数式进行化简求值

例8

计算

23

2323

分析

注意2323<0

23,23都不能配成完全平方可用方程的思想方法求解。

解

令x2323

则x2(2323)

22

∴x232322323

x2

∵x<0

∴x2

【巩固练习与测试】

1．

已知x322，y是x 的倒数，则x2yxy2的值为

2．

已知x3232321y213．

若ym，则的结果为

yy14．

若2aa2，则a

a5．

已知57的小数部分为a，57的小数部分为b，则ab+5b=

6．

化简(,y32，则xy的值为

22xyxy=

2)xyyxx2y7．

计算(2236)(3226)

8．

计算

9．

10已知x

（1）x5xyy

（2）

11.已知ab32，bc32

222求

abcabbcac的值

2264103107237

2235(23)(53)

153,y153xy，求下列各式的值

xyxyxy

12.已知a

13．已知a22451，求出13aa22a1的值

2b22

求代数式

baabab的值

()abbabaabab2x2x2xx24x2x2421)（0x2）

xx2

14．(

15．已知x)(n1nn1nn1n

问n为何值时，代数式19x2136xy19y2的值为1998

,yn1n（n为自然数）