3. 简谐运动的图像和公式教学设计和教学实录

第3节简谐运动的图像和公式

1．建立坐标系

以横轴表示做简谐运动的物体的时间t，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移x。

2．图像的特点

一条正弦(或余弦)曲线，如图1－3－1所示。

图1－3－1 3．图像意义

表示物体做简谐运动时位移随时间的变化规律。

4．应用

由简谐运动的图像可找出物体振动的周期和振幅。

1．图像的含义

表示某一做简谐运动的质点在各个时刻的位移，不是振动质点的运动轨迹。

2．由图像可以获取哪些信息？

(1)可直接读取振幅、周期。

(2)任意时刻质点的位移的大小和方向。如图1－3－2所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。

图1－3－2 (3)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图1－3－3中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻向上振动。

图1－3－3 (4)任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况及大小比较：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是靠近平衡位置，若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来

越大，若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小。如图中b点，从正位移向着平衡位置运动，则速度

为负且增大，位移、加速度正在减小；c点从负位移远离平衡位置运动，则速度为负且减小，位移、加速度正在增大。

一质点做简谐运动，其位移x与时间t关系曲线如图1－3－4所示，由图可知(

)

图1－3－4 A．质点振动的频率是4 Hz B．质点振动的振幅是2 cm C．在t＝3 s时，质点的速度最大

D．在t＝4 s时，质点所受的合外力为零

1解析：选BC

从振动图像可知振幅A＝2 cm，周期T＝4 s，则频率为f＝＝0.25 Hz。Tt＝3 s时，质点位于平衡位置，速度最大，而t＝4 s时，质点位于最大位移处，所以回复力最大。

1.表达式

简谐运动的表达式可以写成

2πx＝Asin (t＋φ)或x＝Asin(2πft＋φ)。

T2．表达式中各量的意义

(1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移，t表示质点振动的时间。

(2)式中A表示振幅，描述的是振动的强弱。

(3)式中T、f分别表示简谐运动的周期和频率，描述的都是振动的快慢。

(4)式中(2πft＋φ)表示相位，描述的是做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体又多完成了一次全振动。

(5)式中φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态称为初相位或初相。

π一个简谐运动的振动方程为x＝5cos(2πt＋) cm，这个振动的振幅是________cm；频率2是________Hz；在t＝0.1 s时的相位是________。

解析：由振动方程可知，A＝5 cm，

2πω＝2π，由ω＝＝2πf可知，

Tf＝1 Hz π7t＝0.1 s时，相位为2π×0.1＋＝π。

210答案：5

1

例题

1．如图1－3－5是弹簧振子的振动图像，试回答下列问题：

7π

10

图1－3－5 (1)振动的振幅、周期、频率各是多少？

(2)如果从O点算起，到图线上哪一点为止振子完成了一次全振动？从A点算起呢？

(3)从零到1.6 s时间内，哪些点的动能最大？哪些点的势能最大？

[思路点拨]

解答本题应注意以下两点：

(1)由图像可以直接读取振幅和周期；

(2)动能最大点、势能最大点与位移的对应关系。

1解析：(1)由图像可知振动的振幅A＝2 cm，周期T＝0.8 s，由此可得频率f＝＝1.25 Hz。

T(2)由图像可知图中的O、D、H三点即在0、0.8 s、1.6 s三时刻，振动质点的运动状态相同，图中A、E二点，即在0.2 s、1.0 s两时刻振动质点的运动状态相同，所以如果从O点算起，到图像上的D点，振子完成了一次全振动；如果从A点算起，到图像上的E点，振子完成了一次全振动。

(3)从0～1.6 s内，在0、0.4 s、0.8 s、1.2 s、1.6 s各时刻，即对应图中的O、B、D、F、H各点，振子处在平衡位置，此时速度最大，动能最大，势能最小，而在0.2 s、0.6 s、1.0 s、1.4 s各时刻，即对应图中的A、C、E、G各点，振子均处在最大位移处，此时速度为零，动能为零，势能最大。

答案：(1)2 cm

0.8 s

1.25 Hz (2)D点

E点

(3)O、B、D、F、H

A、C、E、G

解此类题时，首先要理解x－t图像的意义，其次要把x－t图像与质点的实际振动过程联系起来。再充分利用图像的直观性，把图像与振动过程联系起来，图像上的一个点表示振

动中的一个状态(位置、振动方向等)，图像上的一段对应振动的一个过程，关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向。

如图1－3－6所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法中正确的是(

)

图1－3－6 A．振动周期是2×102 s －B．第2×102 s内物体的位移是－10 cm －C．物体的振动频率为25 Hz D．物体的振幅是10 cm 解析：选BCD

周期是完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距1－离，所以周期是4×102 s，故A错误。又f＝，所以f＝25 Hz，故C正确。正、负极大值T表示物体的振幅，所以振幅A＝10 cm，故D正确。第2×102 s内初位置是10 cm，末位置－是0，根据位移的概念有x＝－10 cm，故B正确。

[典题例析]

π2．物体A做简谐运动的振动位移为xA＝3cos(100t＋) m，物体B做简谐运动的振动位2π移为xB＝5cos(100t＋) m。比较A、B的运动(

) 6A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m B．周期是标量，A、B周期相等为100 s C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB

D．A振动的频率fA大于B振动的频率fB

[思路点拨]

解答此题要注意以下两点：

(1)从表达式中找出振幅、初相、周期；

2π1(2)利用关系式ω＝和f＝分析求解。

TT解析：振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别是3 m、5 m，选2π2π－项A错误；周期是标量，A、B的周期T＝＝

s＝6.28×102 s，选项B错误；因为TAω100＝TB，故fA＝fB，选项C正确，选项D错误。

答案：C

[探规寻律] 2π用x＝Asin(t＋φ)解题的方法

T(1)首先要明确表达式中各物理量的意义。

2π(2)根据ω＝＝2πf确定描述振动快慢的三个物理量的关系。

T(3)根据表达式求解某时刻的位移。

(4)对于同一质点的振动，不同形式位移表达式初相位并不相同。

[跟踪演练] 有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的运动表达式是(

) π－A．x＝8×103sin(4πt＋) m 2π－B．x＝8×103sin(4πt－) m 23－C．x＝8×101sin(πt＋π) m

24π－D．x＝8×101sin(t＋) m π22π解析：选A

ω＝＝4π，当t＝0时，具有负方向的最大加速度，则x＝A，所以初相φTππ－＝，表达式为x＝8×103×sin(4πt＋) m，A正确。

22

[课堂双基落实]

1．如图1－3－7所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移－时间图像，下列有关该图像的说法正确的是(

)

图1－3－7 A．该图像的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置

B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿横轴方向移动的

C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动

D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同

解析：选ACD

该图像的坐标原点是建立在弹簧振子的平衡位置，小球的振动过程是垂直于横轴方向移动的，故A对B错。由获得图像的方法知C对。频闪照相是在相同时间内留下的小球的像。因此小球的疏密显示了它的位置变化快慢，D对。

2．一个质点做简谐运动的图像如图1－3－8所示，则该质点(

)

图1－3－8

A．在0～0.01 s内，速度与加速度的方向相同

B．在0.01～0.02 s内，速度与回复力的方向相同

C．在0.025 s末，速度为正，加速度为负

D．在0.04 s末，速度为零，回复力最大

解析：选AD

在0～0.01 s内，速度、加速度都沿x轴负方向，故A正确。在0.01～0.02 s内，速度沿x轴负方向，而回复力沿x轴正方向，故B错误。在0.025 s末，速度和加速度都为正，故C错误。在0.04 s末，位移最大，回复力最大，速度为零，故D正确。

π3．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝

Asint，则质点(

) 4A．第1 s末与第3 s末的位移相同

B．第1 s末与第3 s末的速度相同

C. 3 s末至5 s末的位移方向都相同

D．3 s末至5 s末的速度方向都相同

ππ2π解析：选AD

由表达式x＝Asint知，ω＝，简谐运动的周期T＝＝8 s。表达式对44ω应的振动图像如图所示。

π2质点在1 s末的位移x1＝Asin(×1)＝A

42π2质点在3 s末的位移x3＝Asin(×3)＝A，故A正确；由前面计算可知t＝1 s和t＝3 s42质点连续通过同一位置，故两时刻质点速度大小相等，但方向相反，B错误；由x－t图像可知，3～4 s内质点的位移为正值，4～5 s内质点的位移为负值，C错误；同样由x－t图像

可知，在时间3～5 s内，质点一直向负方向运动，D正确。

π4．一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝5 sin(8πt＋) cm的规律振动。

4(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相。

5(2)另一简谐运动表达式为x2＝5 sin(8πt＋π) cm，求它们的相位差。

42π1解析：(1)已知ω＝8π，由ω＝得，周期T＝

s，

T41π频率f＝＝4 Hz，振幅A＝5 cm，初相φ1＝；

T45π(2)由Δφ＝φ2－φ1得；相位差Δφ＝π－＝π

4411答案：(1)

s

4 Hz

5 cm

π

(2)π

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[课下综合检测] 1．如图1(a)所示，一弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置。图(b)是该振子做简谐运动时的x－t图像。则关于振子的加速度随时间的变化规律，下列图2四个图像中正确的是(

)

图1

图2 kx解析：选C

设弹簧劲度系数为k，位移与加速度方向相反，由牛顿第二定律得a＝－，m故C正确。

2．一个质点做简谐运动的图像如图3所示，下列说法正确的是(

)

图3 A．质点振动频率为4 Hz B．在10 s内质点经过的路程为20 cm 3πC．在5 s末，质点做简谐运动的相位为

2D．t＝1.5 s和t′＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是2 cm 1解析：选BD

由振动图像可直接得到周期为4 s，频率f＝＝0.25 Hz，故选项A是错T误的；一个周期内简谐运动的质点经过的路程是4A＝8 cm,10 s为2.5个周期，故质点经过π的路程为20 cm，选项B是正确的；由图像知，位移与时间的关系x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.02sin2tπ5πm。当t＝5 s时，其相位ωt＋φ0＝×5＝，故C不正确；在1.5

s和4.5 s两时刻，质点22的位移相同，与振幅的关系是x′＝Asin 135°＝2A＝2 cm，故D正确。

23．如图4甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从最低点位置向上运动时开始计时，在一个周期内的振动图像如图乙所示。关于这个图像，下列说法正确的是(

)

图4 A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正

B．t＝1.7 s时，振子的加速度为负，速度也为负

C．t＝1.0 s时，振子的速度为零，加速度为负向最大值

D．t＝1.5 s时，振子的速度为零，加速度为负向最大值

解析：选C

t＝1.25 s时，振子的加速度为负，速度也为负，故A错误。t＝1.7 s时，振子的加速度为正，速度为负，故B错误。t＝1.0 s时，振子的速度为零，加速度为负向最大值，故C正确。t＝1.5 s时，振子的速度为负向最大值，加速度为零，故D错误。

4．如图5为某一质点的振动图像，由图可知，在t1和t2两时刻|x1|>|x2|，质点速度v1、v2与加速度a1、a2的关系为(

)

图5 A．v1

C．a1>a2，方向相同

B．v1

D．a1>a2，方向相反

解析：选AD

v1、v2均沿－x方向，t1时刻，质点离平衡位置较远，速度较小，v1|x2|，x1与x2方向相反，故a1>a2，且a1、a2m方向相反，C错，D对。

5．(北京高考)一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点。从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度。能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是(

)

图6 k解析：选A

由简谐运动中加速度与位移的关系a＝－x可知，在T/4时刻，加速度正m向最大，则位移负向最大，故选项A正确。

6．劲度系数为20 N/cm的弹簧振子，它的振动图像如图7所示，在图中A点对应的时刻(

)

图7 A．振子所受的弹力大小为0.5 N，方向指向x轴的负方向

B．振子的速度方向指向x轴的正方向

C．在0～4 s内振子作了1.75次全振动

D．在0～4 s内振子通过的路程为0.35 cm，位移为0 解析：选B

由题图可知A在t轴上方，位移x＝0.25 cm，所以弹力F＝－kx＝－5 N，即弹力大小为5 N，方向指向x轴负方向，选项A不正确；由题图可知过A点作图线的切线，该切线与x轴的正方向的夹角小于90°，切线斜率为正值，即振子的速度方向指向x轴的正方向，选项B正确。由图可看出，t＝0、t＝4 s时刻振子的位移都是最大，且都在t轴的上方，在0～4 s内完成两次全振动，选项C错误。由于t＝0时刻和t＝4 s时刻振子都在最大

位移处，所以在0～4 s内振子的位移为零，又由于振幅为0.5 cm，在0～4 s内振子完成了2次全振动，所以在这段时间内振子通过的路程为2×4×0.50 cm＝4 cm，故选项D错误。综上所述，该题的正确选项为B。

7．如图8所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题：

图8 (1)振幅、周期各是多大？

(2)写出这个简谐运动的位移随时间变化的关系式。

解析：(1)质点离开平衡位置的最大位移x＝10 cm，所以振幅A＝10 cm；质点完成一次全振动的时间为4 s，所以周期T＝4 s。

(2)由图像可知振幅A＝10 cm，周期T＝4 s，

2ππ＝

rad/s，

T2t＝0时，x＝0，所以初相位φ＝0，

由此可知位移随时间的变化关系式为

2ππx＝Asin(t＋φ)＝10sint cm。

T2π答案：(1)10 cm

4 s

(2)x＝10sint cm 28．有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，1振子在2 s内完成了10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周4期振子有负向最大位移。

(1)求振子的振幅和周期；

(2)画出该振子的位移－时间图像；

(3)写出振子的振动方程。

解析：(1)弹簧振子在B、C之间做简谐运动，故振幅A＝10 cm，振子在2 s内完成了t10次全振动，振子的周期T＝＝0.2

s。

n1(2)振子从平衡位置开始计时，故t＝0时刻，位移是0，经周期4振子的位移为负向最大，故如图所示。

(3)由函数图像可知振子的位移与时间函数关系式为

x＝10sin(10πt＋π) cm。

答案：(1)10 cm

0.2 s (2)见解析

(3)x＝10sin(10πt＋π) cm