阅读与思考 三角学与天文学课件配套优秀公开课教案设计

1.2.1任意角的三角函数

《三角函数线》教学设计

一、课程标准内容:

借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(2, )的正弦、余弦、正切，能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx的图象，了解三角函数的周期性.

二、教材分析：

三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，可以说,三角函数线是研究三角函数的有利工具.

三、学情分析：

学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.

四、教学目标：

五、教学重难点：

重点：三角函数线的作法及其简单应用.

难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来。

六、教学方法和教学手段：

1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学.

2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.

3．教学手段：利用多媒体辅助教学.

七、教学过程：

（一）复习引入：

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1.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），角α的三角函数是怎样定义的？

2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？

3.终边相同的角的同一三角函数值相等：

公式一：

sin(k2)sin,kzcos(k2)cos,kZ

tan(k2)tan,kZ作用：可以把任意角的三角函数值转化为

02之间的三角函数值

问题：角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数的观点定义了三角函数，如何从图形上找出三角函数的几何意义使它变得更加直观？

【师生互动】教师设问，学生思考. 【设计意图】通过复习上节知识，为本节课的学习做好准备。设置问题，点明主题. （二）新课探究：

1.知识探究（一）：正弦线和余弦线

思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则

siny

，

cosx

都是正数，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？

思考2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则

siny，cos示？

x

都是负数，此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表思考3：为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.根据实际需要，应如何规定线段的正方向和负方向？

思考4：规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段.由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，sinα、cosα可分别用有向线段MP、OM表示，即MP= sinα，OM=cosα，那么当角α为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？

归纳总结：设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线。

思考5：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα＋cosα>1吗？

2.知识探究（二）：正切线

思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则

tanyx是正数，用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？

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思考2：若角α为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则

此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？

思考3：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？

思考4：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？

tanyx

是负数，tanyx

是负数，tanyx

是正数，思考5：根据上述分析，怎样去做角的正切线？

归纳总结：过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tanα.

3.

归纳总结：

三角函数线：sincostanyMPMP(正弦线)

rOPxOMOM(余弦线)rOPyATAT(正切线)xOA

作三角函数线的步骤: (1)

画单位圆;作出角的终边；

(2)

设α的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于M，则有向线段MP是正弦线,有向线段OM是余弦线; (3)

设单位圆与x轴的正半轴交于点A，过点A作x轴的垂线与角α的终边(或其反向延长线)交于点T，则有向线段AT是正切线. （三）例题讲解：

例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: （1）55

；

（2）

；

（3）. 643【设计意图】本例是为了使学生掌握各象限内角的正弦线、余弦线、正切线的画法，属于基础题．

【设计说明】本题由学生板书演示.

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例2. 利用三角函数线，求角的取值集合

（1）sin11

（2）cos

（3）tan1

22

（3）tan1

372k或2k,kZ

44=

3k,kZ

4

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变式练习：求适合下列条件的角的集合

(1)sin1

(2)tan1

2【设计意图】利用例题思路，解决三角不等式. 解：(1) 52k,2k,kZ

(2) 66,k34,kZ

k2

例3. 若42，比较sin、cos、tan的大小．

【设计意图】让学生体会三角函数线的几何意义．

【设计说明】图像由学生画出，教师引导学生从几何角度，利用三角函数线的长短解决问题.来源:Z+xx+k.Com]

解：如图，由于42，知sin0,cos0,tan0，

所以sinMP,cosOM,tanAT.

∵OMMPAT，∴cossintan．

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