阅读与思考 割圆术教学设计第二课时

割圆术

一、教学背景分析

（一）教学内容解析

本节课虽非普通高中课程标准实验教科书的内容，但人教A版必修3中的第一章《算法结构》的“阅读与思考”内容以刘徽的“割圆术”为载体，让学生通过了解“割圆术”的基本特点及其中蕴含的递推思想与迭代算法，体会“割圆术”是几何算法阶段计算圆周率的既有效又科学的方法，又让学生感受到计算工具的不断发展，为圆周率的计算乃至整个数学学科的发展带来前所未有的突破。

在数学史上，简洁而精确的圆周率求法，曾经是数学家们不懈追求的目标，在不同历史阶段，各个国家的数学家们提出了形形色色的圆周率近似值求法，如经验实测方法，蒙特卡洛方法，刘徽割圆术，阿基米德割圆术，级数逼近等等。每一次方法的改进，都在严密性与精确性的角度上体现了重要的数学思想，因此在高中阶段，让学生了解和学习各种不同的圆周率近似值的求法，并对这些方法进行比较与分析，是十分必要的。 （二）学生学情分析

在深化课改的背景下，现阶段的学生并没有学过如何求圆周率，只有人教A版必修3中的第一章《算法结构》的“阅读与思考”内容是以刘徽的“割圆术”为载体，通过算法知识来介绍求圆周率，

但是，必修3中算法的相关知识，也没有学过，在算法的建构方面存在一定的困难，同时对圆周率的认知基本上停留在能背出小数点后多少位，却不知圆周率是如何得到的。

学生通过课前资料收集和阅读思考，对历史上几种不同的圆周率求法进行了初步的了解，同时以教材中的“阅读与思考”内容，同时也是历史上完备性最好，且具有算法思想的刘徽的“割圆术”作为重点介绍内容，让学生领悟刘徽的割圆

术中所蕴含的递推思想及迭代算法。对于刘徽割圆术的掌握，对学生来说是一个挑战，圆内接正多边形的面积公式的递推关系的推导对学生来说是十分困难的．根据教学内容解析和学情分析，我确定本节课的教学重点和难点如下：

重点：在学生通过课前阅读与课外查阅与研究所了解的有关求圆周率的方法的基础上，对各种不同的方法进行简要的介绍与对比，同时深入探究刘徽割圆术的思想方法，获得面积递推公式，同时体会其中蕴含的递推思想与迭代算法．

难点：割圆术中“内外夹逼”的极限思想与算法实现过程中递推关系的建立．

二、教学目标设置

依据课程标准，基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：

（一）让学生经历从直观感受到随机模拟，最后到严格推理，然后以计算机实现近似值求解的过程，既对相关数学史有所了解，同时又让学生体会了求解圆周率的历史实质是运算工具的发展史．

（二）理解割圆术对于圆周率估计的完备性与精确性，以及求解过程中所蕴含的递推思想，体会计算机程序迭代算法和割圆术的应用价值．

（三）了解求解圆周率的历史，感受数学的文化价值．

三、教学策略分析

本节课在教学材料的组织上选择了让学生课前探究求解圆周率的方法，自主学习刘徽的割圆术，并以小组交流的形式汇报阅读成果. 应用问题探究式教学方式，对课本介绍的刘徽的割圆术进行再思考，让学生自主探究如何方便地计算圆内接正多边形的面积．借助Ｅxcel软件的迭代功能实现算法，完成对圆周率的近似值的初步估计. 因此本节课采用学生课前阅读与课内思考相结合的方式，让学生体会以阅读学习所获得的知识为基础，在经过再思考后，获得对问题的深刻理解的过程；同时采用公式的理论推导和信息技术相结合的手段，让学生体会到中国古代数学中所蕴含的算法思想，给学生提供了一次动手实践、还原历史的经历．

四、教学过程

为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下四个阶段：

呈现背景

探索方法

完善方法

归纳小结

（一）

呈现背景

通过一系列以圆为主要元素的建筑物引入课题，并且指出我国很早就开

使研究圆了，比如制作的车轮，并在实际生产过程中发现，无论怎样改变车轮的大小，车轮的周长与直径的比值始终是一个定值。

【设计意图】

让学生了解圆周率的由来，激发学生的求知欲。

（二）探索方法

一、实测法

【学生活动】学生分小组测量3个大小不同的圆片的周长以及面积并计算其比值，最后将测量结果写在黑板上。

【教师活动】通过数据观察，测量值都稳定在某个值附近，所以可以大胆猜测圆的周长与直径的比值是一个定值。并且介绍我国明代的天文学家邢云路曾经也采用过实测的方式计算过圆周率。

【设计意图】培养学生归纳猜想的能力，并且指出实测法在计算方面的误差，同

时通过介绍邢云路以及他的贡献，提升学生的民族自豪感。

二、割圆术

【活动过程】通过一段关于刘徽的小视频让学生了解刘徽的生平。并通过视频了解割圆术的思想。

【学生活动】计算边长为1的圆的内接正六边形的面积，并接着计算正十二边形的面积（只需列出式子即可）

【教师提问】刘徽在算完正六边形的面积之后，为什么没有接着计算正七边形、正八边形的面积，而是直接选择计算正十二边形的面积呢？

【总结】因为借助x6可以求S6，然后在x6，S6的基础上，求x12，S12，依次类推，……，要求S2n，只需借助于xn，Sn，得到了圆内接正多边形的面积的递推公式。这样可以充分利用前面计算过的数据，从而大大的简化了运算次数。

【设计意图】学生通过讨论体会刘徽割圆术的化圆为方的思想。

（三）完善优化

将刘徽的计算方法写进计算机程序里面，观察随着n的增大，面积的数值越来越接近的真实值。但是我们发现我们算的数值始终比的理论值要小，也就是我们只求了面积的不足近似值，为了追求严谨呢，我们还需要计算它的过剩近似值。

【老师提问】除了用内接正多变形来逼近圆的面积，还可以用什么来表示圆的面积呢？ 【学生回答】还可以用圆的外切正多边形来逼近圆的面积。

【老师回答】但是刘徽却是在想我能不能进一步的简化运算呢？于是他截掉了外切正六边形的六个角如图所示。大家看一下，这样的一个多边形的面积可以如何表示。

【学生活动】此时，此几何图形的面积为：

Sn2S2nSnS2nS2nSn. 【老师总结】随着边数的增大，我们可以计算出圆的面积的一个比较非常精确的范围，进而求出圆周率的精确范围

（四）归纳小结

刘徽通过化圆为方的思想将面积不可求的图形转化成了面积可求的图象，这在数学思想上是质的飞跃。同时采用内外夹逼的方式计算出了圆周率的精确范围，充分体现出数学思维的严谨性。

五、教学特点及反思

（1）历史发展与数学进步有效契合

本节课既介绍了有关圆周率求解的数学历史，又渗透了各种求解方法所蕴含的数学思想与方法，在方法的介绍与探讨过程中，成功地将历史发展过程，与不同方法的逻辑严密性与精确性的提高过程这两条线索有效契合，贯穿整节课堂，做到数学中有历史，历史中有数学。

（3）信息技术与课程内容有机整合

通过揭示递推公式与迭代算法之间的关系，借助计算机中来实现算法，完成对圆周率的近似值的初步估计，既验证了运用割圆术求解的近似值的可行性与有效性，又体现了中国古代数学的算法特征．