2.1.2 向量的几何表示第二课时 公开课

平面向量的实际背景及基本概念

防城港实验高级中学

陈映月

一．

教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学4》（人教A版）第二章第一节的第一课时（2.1）《平面向量的实际背景及基本概念》．本节内容属于概念性知识．

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具．在现实生活中随处可见的力、位移、速度等既有大小，又有方向的量是其物理背景，有向线段是其几何背景，向量就是从这些实际对象中抽象出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学工具，广泛地应用于解决数学、物理学科或实际生活中的问题.因此，它在整个高中数学的地位是很重要的. 本节课是《平面向量》的起始课，通过本节课的学习，让学生体会到向量具有大小和方向两个基本特征，研究向量我们可以从大小和方向两个角度入手.另外，实数学习的经验可以启发我们对向量的学习，引进一个量，就要研究它的运算，研究相应的运算律，因此，《平面向量》这一章，后续将要研究的内容就比较明朗了，这体现了本节课内容，对这一章的教学具有“统领全局”的作用. 另外，对于本节课的教学，重要的是让学生去体会研究数学新对象的方法和基本思路，而不是向量的形式化定义及几个相关概念.因此，本节课内容的学习，它的理论意义远远大于它在解题中的作用．

二．教学目标设置

根据本节课的内容特点以及学生的认知水平，确定本节课的教学目标是：

1. 通过位移的实例分析，了解向量的实际背景，理解向量的概念及向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 在向量概念的形成过程中，提高抽象与概括能力，在向量的表示、特殊向量、向量的特殊关系的探讨过程中，体会向量具有数和形两个特征．

3. 由具有物理意义的量抽象出向量的概念，积累从具体到抽象的活动1

经验；在向量的概念、向量的表示、特殊向量、向量的特殊关系的探讨过程中，自觉形成从大小和方向两个角度来进行思考的习惯，培养理性思维．

三．教学重难点

1. 重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示. 2.难点：向量的概念和共线向量的概念. 四．教学过程设计

（一）创设情境，引入课题

【问题1】同学们被外国人誉为中国的“新四大发明”是什么？

设计意图：教师提出一个生活中的热点问题，激发学生学习兴趣，为下一步引出物理现象作铺垫. 【问题2】运用物理学的哪个量，可以解释路径不同，但是最终都能从南宁到达福州这一现象？

追问：这个物理量有什么特点？

师生活动：教师通过图片演示两条不同从南宁到福州的路径，学生认真观察现象并进行思考，教师组织学生交流. 设计意图：进一步让学生思考现象背后的原理，让学生经历由直观感知，为向量概念的引出作准备；

（二）概念形成

【问题3】大家能否举出一些既有大小，又有方向的量?请举例说明。

追问1：为什么叫矢量？

师生活动：教师提出问题，学生回答老师提出的问题，由其他同学补充. 设计意图：通过设问激活学生已有的相关经验、知识，从丰富的实例中让学生感知概念的本质特征，引导学生提炼、概括向量的本质属性，形成对向量的初步认识，为进一步抽象概括做准备．

追问1：将这些量迁移到数学上，形成一种新的量，你能否给它取一个名字？

追问2：你能否给向量下个定义？

追问3：在定义中哪些词最关键？

2

设计意图：加深学生对向量概念的理解．明确接下来的研究方向. 【问题4】用什么可以直观地表示南宁到福州的位移？（配合位移图）

师生活动：教师引导学生得出向量的几何表示及符号表示. 设计意图：让学生通过物理中位移是如何表示的，进而让学生进一步体会到向量的实际背景，自觉接受向量的几何表示；同时，得到符号表示.通过对向量的几何表示和字母表示的探讨，让学生体会从大小和方向两个角度来思考向量的问题，体会到几何表示突出向量“形”的特征，而字母表示有利于我们进行表达，为后续学习作准备. 【问题5】：既然向量的方向可以用箭头表示，那么向量的长度可以用什么符号表示？

追问：为什么能用绝对值号表示向量的长度？

设计意图：让学生通过实数的绝对值的几何意义，理解向量的模的符号表示的合理性，感受知识的迁移. 问6：时间，路程，温度是向量吗?它们有什么特点？

设计意图：让学生通过向量和标量的对比，进一步加深对向量双属性的理解.同时，得出向量大小和数量的关系.为下一步引出零向量做铺垫. 思考1：既然实数能比较大小，但是向量不能比较大小？为什么？

思考2：哪个实数最特殊？

追问:零向量如何用有向线段表示？（进而得出零向量能用一个点表示，方向无法确定，所以我们规定向量的方向是任意的.)

设计意图：引导学生充分挖掘原有知识与新知识的关联，为新知识的学习提供借鉴，从学生所熟知的实数的知识出发，得出零向量.便于学生理解后面的“我们规定：零向量与任一向量平行”这一知识点.

探究1：下列向量有何共同特点？

3

设计意图：让学生能从向量的长度入手，发现向量中的特殊元素. 探究2：类比以上研究方法，这下列向量有什么关系？

活动:通过一个动态演示，让学生得到向量可以平移这一启示.为下面平行向量过渡到共线向量做铺垫. 设计意图：让学生经历知识的产生过程,突破教学难点. 探究3：观察平行向量的动态演示，自然得出平行向量就是共线向量这一知识点. 设计意图：便于学生掌握平行向量就是共线向量这一知识点.同时，进一步加深学生对于自由向量的理解.

思考3：零向量与任一向量平行有何关系？

设计意图：加深学生对零向量与非零向量关系的理解. （三）概念深化

例1 判断下面的说法是否正确.并说明理由。

(1)

向量的模的取值范围是0，. (2)

若a与b都是单位向量，则ab. (3)

若a∥b,则向量a与向量b方向相同.

(4)

物理学中的作用力与反作用力是一对相等向量. (5)

若AB0,则ABBA.

设计意图：检验学生对于向量相关概念的掌握，并及时查漏补缺.

例2

如图，四边形ABCD和四边形DCEF均为平行四边形，试问图中哪些向量分别与AD,AF,DC

相等

.

4

DFACEB

变式

如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，请在图中找出与OA

共线的向量.

设计意图：通过数形结合，让学生意识到向量是解决几何问题的重要工具. （五）归纳总结

你能否按照我们今天上课的顺序画个流程图，尝试把今天学习的内容梳理一下？

向量的概念

向量表示

特殊向量

特殊关系

向量

物理背景

长度

长度方向

方向

大

小

方向

几何表示

字母表示

零向量

单位向量

相等向量

平行向量

设计意图：本节课概念比较多，通过图示梳理比较清晰，而且能够帮助学生明确概念课学习的基本思路.让学生明确知识的产生过程.从同类具体事物中抽象出共同本质特征----下定义----符号表示-----认识特殊对5

象-----考察某些特殊关系.使得知识间的逻辑关系更清晰. （六）布置作业

作业1

查阅资料了解向量及向量符号的由来. 作业2 如图，设O是正六边形

ABCDEF的中心，分别写出图中与

相等的向量.

作业3

思考:向量平行、共线与线段的平行、共线有什么区别和联系? 作业4 思考：“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法是否正确？

设计意图：布置课后作业旨在落实本节课教学内容，教师鼓励学生课后拓展相关知识，继续对问题进行研究.并为下一节课做铺垫. 6