3.1.2 概率的意义教学设计案例

《概率的意义》的教学设计

四川省温江中学 舒叶梅

1.教学内容解析

在此之前，学生已经接触过随机事件、不可能事件、必然事件的概念，以教材“北京的天气变化情况”“水稻种子发芽后的生长情况”为例，简略叙述了客观世界中偶然与必然的内在联系，由此得出三种事件的概念。其实在现实世界中，随机现象是广泛存在的，而随机现象中存在着数量规律性，从而使我们可以运用数学方法来定量地研究随机现象；本节课正是引导学生从数量这一侧面研究随机现象的规律性。随机事件的概率在实际生活中有着广泛的应用，诸如自动控制、通讯技术、军事、气象、水文、地质、经济等领域的应用非常普遍；通过对这一知识点的学习运用，使学生了解偶然性寓于必然之中的辩证唯物主义思想，学习和体会数学的奇异美和应用美。基于此，我把本节课的重点难点设置如下：

教学重点：概率的意义；

教学难点：通过观察数据图表，总结出在大量重复试验的情况下，随机事件的发

生所呈现出的规律性。

2.教学目标设置

（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步认识随机现象，了解概率的意义；

（2）通过抛币试验让学生了解随机事件的发生在大量重复试验下，呈现规律性，从而理解频率的稳定性，概率的统计定义以及用频率估计概率的方法；

（3）通过随机事件的发生既有随机性，又存在着统计规律性的发现，体会偶然性和必然性的对立统一；

(4) 渗透人文精神，培养爱国情怀，在民主、和谐、自由的学习氛围中促进师生的感情交流。

3.学生学情分析

在此之前，学生已经学习过随机事件，不可能事件，必然事件的概念，学生在日

常生活中对于概率可能有一些模糊的认识。本班系我校的实验班，学生的数学基

础较好，热爱数学，勤思考，爱尝试，有较强的动手操作能力，多次数学考试位

于同平台前列，但仍有极少数学生基础知识相对薄弱。虽然高中学生有一定的抽

象思维能力，但是概率的定义过于抽象，学生较难理解，所有在教学中要给学生

足够的思考时间，让学生动手实践，小组交流，充分经历知识的产生与发展过程。

4.教学策略分析

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求随机事件的概率主要要用到排列、组合知识，学生没有基础，但学生在初中已经接触个类似的问题，所以在教学中学生并不感到陌生，关键是引导学生对“随机事件的概率”这个重点、难点的掌握和突破，以及如何有具体问题转化为抽象的概念。所以在教学中教师引导学生对身边的事件加以注意、分析，结果可定性地分为三类事件：必然事件，不可能事件，随机事件；指导学生做简单易行的实验，让学生无意识地发现随机事件的某一结果发生的规律性。具体操作如下：

（1）精心设计教学活动，使学生经历质疑——解惑——应用的体验探究过程。

（2）努力创设问题情境，吸引学生的注意力，激发学生的兴趣。

（3）合理设计数学实验，通过动手操作，培养学生“做”数学的精神。

即本节课贯彻“教师为主导、学生为主体、思维为核心”的教学思想，以建构主义理论为指导，着重于学生实验、探索研究的启发式教学方法，引导学生分组讨论、归纳的教学方法。

5.

教学媒体支持

我校配备先进的教学设施,在同类学校属于一流水平。通过运用多媒体的美观设计，便于课堂操作和知识条理化，教学更加生动形象，保证学生的注意力始终集中在课堂上，让学生的数学学习兴趣更加地浓厚。

6.教学过程设计

（1）教学流程

（2）教学过程

（一）创设情境，体会随机事件发生的不确定性

1.展示生活实例1：“麦蒂的35秒奇迹”

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生活经验

考察

概括

数学概念

生活中的随机现象

随机事件的概念

面对随机现象

能够作出决策

概率从数量上反映

事件发生的可能性

用随机事件的频率估计概率的统计定义

从同学们都很感兴趣的篮球比赛说起，介绍比赛最后时刻的情形.为什么在那个时刻，所有人都紧张的注视着麦蒂和他投出的篮球？你能确定神奇的麦蒂在即将开始的NBA比赛中的下一个三分球投进了吗？

设计意图：从学生感兴趣的生活实例引入，一方面是为了激发学生的听课热情，另一方面也是让学生体会学习随机事件及概率的原因和必要性.抓住生活实例中包含数学思维的部分进行提问，引导学生用数学的眼光观察、认识我们生活的世界，对生活中的现象和感性认识进行理性思考．

2．展示生活实例2：杜丽北京奥运再夺金

我们都非常关注北京2008奥运会，大家知道这名中国射击运动员的名字吗？为什么射击比赛中每一枪都如此扣人心弦呢？

设计意图:奥运会是社会热点话题，可以增强学生的国家自豪感。

（二）归纳共性，形成随机事件的概念

从结果能够预知的角度看，能够发现以上事件的共同点吗？

设计意图:有了前面的基础，此时学生能够有效的概括、抽取上述生活体验的共性．在数学上研究事件时，主要关注在相应的条件下，事件是否发生，因此在提问时明确思考的角度，让学生的思维直指概念的本质，避免不必要的发散。

以上这些事件都是可能发生也可能不发生的事件。那么在自己的身边，还能找到此类的事件吗？有没有不属于此类的事件呢？

通过以上思考，发现事件可以分为以下三类：

必然事件

：在一定的条件下必然要发生的事件；

不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件；

随机事件

：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件．

设计意图:在形成概念之前，通过主动的思考，在自己身边举例，一是巩固学生对随机事件概念的认识；二是通过对比，明确事件分类的标准和概念之间的差异。

（三）深入情境，体会随机事件的规律性

我们看到，随机事件在生活中是广泛存在的，时刻影响着我们的生活．正因为体育比赛中充满了随机事件，而让比赛更加刺激、精彩，让观众更加紧张投入；因为每天的校园生活充满了随机事件，而让我们走入校门的时候内心涌动着好奇与兴奋；因为人生道路上充满了随机事件，而让我们每个人的人生各有各的不同，各有各的精彩．我们生活在一个充满了随机事件的世界当中。同时，我们身边也

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有一些意外是随机事件，那我们是不是因此而时刻都充满着恐慌呢？实现自己的目标这也是个随机事件，我们是不是就因此而放弃了今天的努力了呢？

设计意图

:这一段教学首先表现了随机事件带给人们丰富多彩的生活，体现了教师对数学、对概率的喜爱和热情，传递给学生学习数学的积极态度．其次，这段教学既是对前面内容的总结，也引出了下面研究思考的方向，起到承上启下的作用，同时也就揭示了人们认识随机事件的过程，以及随机事件随机性和规律性之间的联系．第三，通过反问，使学生意识到，生活的不断体验已经使我们积累了一些对随机事件规律性的感性认识，那么接下来就是要挖掘出这些感性认识下面的理性依据，以这种方式激发学生对生活经验的反思和探究，同时帮助学生形成正确的世界观。

回到最开始的两个实例中，反思其中包含着哪些对随机事件规律性的感性认识，以此为基础进行理性思考．

1. 提出问题，引发思考：

(1) 既然三分球的命中都有随机性，为什么不是姚明来投最后这个三分球？

(2) 既然每个人参加奥运会获得金牌都是随机事件，为什么派杜丽而不是其他人来参加奥运会射击比赛呢？

2. 再次抽取共性，形成抽象概念：

从同学们的回答中，可以体会到，事件发生的可能性有大小之分，是可以比较的，从而抽象出可以用数量表示事件发生的可能性的大小，这就是概率的意义．

3. 用概率的语言回答前面的问题．

设计意图:借助前面的事例，减少课堂的阅读量和重复思维量，可以提高课堂效率，也增强了规律性与随机性的对比．并且两个问题在学生看来是很容易回答的，这恰恰说明概率的雏形在生活实践中已经产生，同时这样的问题也更有利于学生对概率概念本身的把握，抽象过程就变得顺其自然了。

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（四）层层深入，形成概率的统计定义

通过数学实验，观察各组频率是否体现出规律性：

可以用大量重复试验的频率来估计投硬币“正面朝上”的概率，那么这种方法是否具有普遍性？方法的理论依据是什么？下面进行数学实验．

实验的要求：学生六人一组，进行试验，每组试验次数不定，注意试验的条件要求：竖直随机上抛。

实验结果的汇总与展示：各组汇报频数，输入到电子表格中，同时自动计算出各组频率并绘制出折线图。

各组频率折线图

80.0% 70.0% 60.0% 50.0% 40.0% 30.0% 20.0% 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 观察得到的数据表格和折线图，能够观察出规律，以帮助我们估计出事件发生的概率？

设计意图:这一数学实验的结论不易直接推导，这说明了进行试验的必要性，也更大的调动了学生参与的积极性．学生的亲身体验，更有利于概念的形成，以及对规律的认同。对于各组频率统计表，学生也可以从中观察出一定的规律，但是这一规律尚不能帮助我们估计事件发生的概率，或者说精度不够。在此处实现学生在思考问题时的一个冲突，激发更细致的分析随机事件规律性的主动性。

1. 观察累积数据的频率表和折线图，形成概率的统计定义：

对于将所有数据累加后计算频率，来估计概率的方法，实际上就出现了累积数据的想法．对比前面对命中率的研究，其实累积数据就相当于大量重复同一试验，与前面的分析具有一致性．

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下面就利用电子表格的计算功能，计算出累积各组数据的频率并绘制出折线图，从数或形两个角度观察累积数据的频率是否体现出规律性？

累积数据的频率折线图

80.0% 70.0% 60.0% 50.0% 40.0% 30.0% 20.0% 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 此图表中体现出的规律性是否具有一般性？为了加深学生对随机事件发生的规律性的认识，引出当代科学家为了探究科学的真知，不吃辛劳地做大量的试验，这种精神值得我们学习。

试验者

棣莫佛

蒲丰

费勒

皮尔逊

皮尔逊

试验次数

2048

4040

10000

12000

24000

正面朝上的次数

1061

2048

4979

6019

12012

正面朝上的比例

0.5181

0.5069

0.4979

0.5016

0.5005

以上从数据和图形两方面印证了前面总结的规律性，形成概率的统计定义：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．

设计意图:这一段是本节内容的难点，需要把对数据、图表的直观印象转化为抽象的概率定义。之所以可以用大量重复试验的频率来估计概率，是因为在数、图中累积数据的频率体现出了一定的“稳定性”，即规律性，使得我们能够从图表中大致判断出事件概率的范围、具体大小。

这里首先还是坚持从多组数据中抽取共性来形成概念，其次注重数与形的相互转化，把图形上的规律用数去描述，把数据上的规律用图形去验证，教学过程中数表起到了与折线图相同的作用。最后还采取了一些具体手段来帮助学生发掘、

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描述规律，如在折线图中绘制一条水平的红线，更为清晰的表现出频率在常数附近摆动的规律。

2．概率的定义

对于给定的随机事件A，如果随着实验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在区间[0,1]中的某个常数上，把这个常数称为事件A的概率，记作P(A)，简称为事件A的概率. 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小. 设计意图

：通过对实例的归纳和辨析对新问题的特性形成陈述性的理解，继而与原有的知识结构相互联系，帮助学生体会随机事件的随机性和规律性是不矛盾的，是辨证统一的，即随机事件在一次试验中体现出随机性，在大量重复试验中体现出规律性，这就是概率的定义。

（五）探讨：频率与概率有何联系与区别？

联系：

（1）随着试验次数的增加，频率会在概率的附近摆动,并趋于稳定. （2）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 区别：

（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定；

（2）概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；

设计意图：通过学生的探究，让学生充分认识频率与概率的区别与联系，频率本身是随机的，在试验前不能确定；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.

（六）练习巩固，升华认识

A.任何事件的概率总是在（0，1）之间 B.频率是客观存在的，与试验次数无关 C.随着试验次数的增加，频率一般会非常接近概率

D.概率是随机的，在试验前不能确定

2.李梁伟、陈思宏两个同学想看同一本好书，于是采用“石头、剪刀、布”的方式决定谁先看．那么这种规则公平吗？为什么？

3.医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只

7 1.下列说法正确的是 ( )

有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.”

医生的说法对吗？你能解释原因吗？

设计意图：练习设计了三个小题：第（1）个是检验频率与概率的概念辨析，从而巩固概念的认识，第（2）、（3）个是用概率去判别生活中的随机事件，达到学以致用，学习知识是为了解决问题，服务于生活，对于遇到问题作出决策性判断。

（七）典例剖析，悟化概念

例题：某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如下表:

投篮次数

进球次数

进球频率

8 6

10 8

15 12

20 17

30 25

40 32

50 39

(1)

计算表中进球的频率; (2)

这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少? 变式：这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定能投中8次吗? 设计意图：通过试验，得出随着试验次数的增加，频率会在概率的附近摆动,并趋于稳定

概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值的结论，典例剖析，悟化概念，使学生的能力得到检验和提升。

（八）归纳小结，形成系统

通过本节课的学习，思考下列问题：

1.

为了估计随机事件发生的概率，本节课的教学使用了那些数学思想？

2.通过本节课的学习，你又收获了哪些数学知识？

3.有什么困惑或者不清楚的地方吗？

设计意图：通过对课堂实例的思考，回顾了随机事件的概念和用频率估计概率的方法，在思考中师生共同完成本节课的小结，同时形成板书，突出概念与方法。

（九）课后作业，问题延伸

1.

设计恰当的数学实验，估计随机事件发生的概率；

2.

查阅有关资料，了解概率发展的历史．

设计意图：布置作业让学生温故知新，同时针对学生的解答情况及时弥补和调整。

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