探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质PPT及专用教学设计内容

三角函数的图像与性质教学设计

共1课时

1.4 三角函数的图像与性质…

高中数学

人教A版2003课标版

1教学目标

1、知识与技能

1．理解正弦函数、余弦函数奇偶性、单调性、最大值与最小值的概念；

2．会判断三角函数的奇偶性，会求三角函数的单调区间，会求三角函数的最值；

3. 初步掌握研究函数性质的基本方法。

2、过程与方法

1.培养学生运用函数图像进行分析、探究问题的能力。

2．通过研究一个周期内的性质推广到整个定义域内，让学生体会由部分到整体的思想过程。

3、情感态度与价值观

1.经历三角函数性质的探讨过程，感受研究函数性质的一般思路与方法。

2.通过运用数形结合的思想方法，让学生体会数学之美。

3.用三角函数的图像特点，比喻人生道路，使学生感受人生之路并不平坦，只有努力攀登才能到达顶峰，培养学生勇于探索，不怕困难的精神。

2学情分析

知识结构：学生已经学习过函数的奇偶性和单调性，在上一节课时体会了正弦函数、余弦函数“周而复始”的变化，并且用周期这个概念量化了这种变化。

能力结构：学生已经体验过用函数图像获取函数性质的方法，对图形的观察能力有一定的提高，但三角函数不同于以往遇到的函数，它具有周期性，可以通过研究一个周期内的性质来推广到整体的性质，这对于第一次接触周期函数的学生来说有一定的难度，需要正确恰当的引导。

3重点难点

【教学重点】通过观察图像，得到三角函数的性质，并简单运用。

【教学难点】将一个周期内的性质推广到整个定义域内。

4教学过程 4.1 正弦函数、余弦函数的性质（二）

教学活动

活动1【导入】新课导入

师：同学们是否有过这样的感受，有时候觉得自己精神饱满,思维敏捷，妈妈再也不用担心我的学习，有时候又莫名其妙的很疲惫，状态不佳坑到下家，喝脉动也不管用，有没有？

人体的这种变化有没有规律可循呢？其实，科学家们早已发现，每个人从诞生的那一刻开始，就存在着一个28天的情绪波动周期，23天的体力盛衰周期，和33天的智力强弱周期，人体的这三种周期性变化被称作人体的三大节律，科学家将这三大节律的变化表示在同一个坐标系下，发现他们都呈正弦曲线变化。同学们现在看到的就是华老师这个月的人体节律曲线图。如果我们可以用数学的方法更加精确的认识这一类图象，就可以更好的安排我们的生活，今天我们就从图像出发继续探一探正弦函数和余弦函数的性质。

【设计意图】向学生展示老师自己在这个月内的人体节律曲线图，激发学生的好奇心和求知欲。

师：正弦函数、余弦函数具有“周而复始”的变化规律，这可以从正弦线、余弦线、函数的图象的变化规律及诱导公式中得到反映。上节课我们用周期性这个概念量化了这种“周而复始”，而我们在研究正余弦函数的图象过程中发现，他们的曲线非常有特点，请同学们用五点法画出正弦函数和余弦函数的草图，感受一下它们的图像除了周而复始，还有什么特点？

学生1经过画图和观察发表自己的观点，教师总结两句话：“波浪中有对称，起伏中有规律”。

师：我们发现，它们的图像不仅重复着而且对称着，不是平稳向前，而是有起有伏，就像我们的人生道路，起起伏伏，这些变化中一定蕴藏着某种规律，今天我们可以掌控这种变化，明天我们也有信心可以掌控我们的人生。

【设计意图】正弦函数、余弦函数的图像既是中心对称图形又是轴对称图形，波浪起伏、周而复始地向两方延伸，给人以强烈的形态美；学生首先可以通过观察图像发现其中所蕴含的规律从而产生探究的欲望，“波浪中有对称”说的就是函数奇偶性和对称性，“起伏中有规律”则说的是函数的单调性，而这种起伏是在周期性的影响下周而复始的重复着。

活动2【讲授】推进新课

探究一 波浪中有对称

师：我们过去在研究函数的性质时，有什么性质与对称有关？期待回答：奇偶性

师：函数的奇偶性可以从哪些角度来理解？期待回答：图象和定义

师：请学生2试从图像和定义这两方面探一探正弦函数的奇偶性。（强调定义域是否关于原点对称。）

【设计意图】由图像上的对称引出函数奇偶性的概念，再进一步引导学生从图像和定义两方面去探究正弦函数和余弦函数的奇偶性。

拓展一

师：我们从图象和定义两方面验证了正弦函数是奇函数，难道正弦函数的对称中心就只有原点吗？她又能否是轴对称图形呢？

期待学生3回答：对称中心有

对称轴有

逐步引导学生3找出对称轴对称中心中所蕴含的规律：隔半个周期，就会出现一次对称中心，进而将这些对称中心用统一的形式表示出来

期待学生3回答：对称中心

，对称轴

需要强调的是

(1) ,(2)对称轴要写成直线方程的形式(3)对称中心要写成点的坐标形式。

师：老师再追问一下，你能不能简单证明一下正弦函数的这两种对称？

【设计意图】把对称轴和对称中心写成统一形式，便于后面对单调性的研究，同时，这里实际上利用到了数列通项公式的相关方法，这也为后面知识的学习奠定了基础；图像上的特点理论上得以验证，培养学生严谨的学习态度。

探究二 起伏中有规律

师：在刚才的探究过程中，我们发现两个函数都有最高和最低点，就像人生的低谷和顶峰，顶峰总是是要经过一番翻山越岭才会到达的，那么在这个过程中正

弦和余弦又经历了怎样的起伏呢？我们又可以用函数的什么性质来刻画函数图像的起起伏伏呢？

学生：单调性。

师：观察一下你画的图象，你能找到正弦函数的单调增区间和减区间吗？

期待学生4列举出一些单调增区间，和减区间并说明有无数个

师：通过我们列举出来的单调区间，你能发现增区间之间有什么关系？增区间和减区间之间又有什么关系呢？

期待学生5回答：每两个相邻的增区间之间差2kπ，增区间和减区间相间出现。

师：根据你的发现，你能否像归纳对称中心和对称轴一样归纳出单调增区间的统一形式呢？

期待学生5写出统一的形式。

【设计意图】在前面总结过对称轴和对称中心以后，这里对学生而言不算困难，但要深刻的理解这种统一的形式，还需要下面通过周期性进一步加深理解。

师：为什么我们可以写出这种形式呢？归根结底源自于正弦函数具备什么性质？

期待回答：周期性。

师：我们试着从周期的角度来理解这种形式，既然图像的变化是在重复的，我们就选择研究其中一个周期，再推广到整个定义域，那么选择哪一个周期来研究呢？

学生在选择所研究的周期时会出现多种可能，引导学生选择单调性比较简单的

这个周期，

师：演示周期性对函数单调性的影响，归纳正弦函数的单调性。

【设计意图】让学生通过回顾五点法作图中的特殊点，在描点的过程中感受函数图像的变化规律，找出单调区间，在通过观察个区间之间的关系找出规律，尝试写出统一的形式，并纠正其中的错误，然后用函数的周期性进一步解释这种形式的意义，增强对周期的理解，并且今后对于周期函数的性质，学会运用从部分到整体的思想。

拓展二

师：我们知道正余弦函数图像有最高和最低点，就是函数的最大和最小值，那么根据函数图像以及我们可以总结出来，正弦函数和余弦函数分别在哪些位置取到最值呢？请同学们试填写：

正弦函数当且仅当x=_________时取得最大值1，当且仅当x=__________时取得最小值-1；

余弦函数当且仅当x=_________时取得最大值1，当且仅当x=__________时取得最小值-1；

【设计意图】通过寻找对称轴以及它们与最值的关系，加深学生对图像的认识，体会数学知识之间的融会贯通，

活动3【活动】类比探究

让学生总结到目前为止我们已经发现的正弦函数的性质。请同学们小组合作完成余弦函数性质的探究。

【设计意图】学生通过类比正弦函数性质的探究过程完成余弦函数性质的探究，能够在谈论和交流中亲身体会数学知识的发现过程，并且以表格的形式展现出来，让学生能够看到自己这堂课的发现与收获。

活动4【练习】成果运用

（四）成果运用

下面我们一起来运用一下本堂课的成果。

例1 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小

) 活动：请为你的小伙伴出一道利用三角函数的单调性比较大小的题目，要求：在此题基础上有所提升。

【设计意图】让学生能够像小老师一样考一考自己的同学，使学生真正成为课堂的主人。

例2 请同学们研究下列函数的最值以及取到最值时x的集合。

（1）

y=3cosx+1,x∈R （2）y=−sin(12

x+π3 )，x∈R

障碍设置：若在（2）中增加条件求出最值以及取到最值时x的集合

x∈[0,2π] 如何【设计意图】逐步加入障碍，使学生在不知不觉中提高对知识的运用水平。

想一想：对于例2中的两题，除了求最值，我们还可以研究一下它们的其它性质吗？

【设计意图】再一次让学生感受自己出题的乐趣，引出对单调性的研究。

例3 研究函数y=−sin(12

x+π3 )，x∈【0,2π】 的单调性

师：你觉得解决这个问题的困难可能会出现在哪里？学生会想到题目中的自变量范围和负号可能成为此题的困难之处，于是，我们可以先把两个困难去掉，再逐一加上去：

（1）y=sin(12 x+π3 ) （2）y=−sin(12

x+π3 ), （3）y=−sin(12

x+π3 )，x∈【0,2π】 【设计意图】学生会想到题目中的自变量范围和负号可能成为此题的困难之处，于是，我们可以先把两个困难去掉，再逐一加上去，该问题得以解决后，学生已经掌握了单调区间的求法，并且在今后做题时会注意到两个困难是否出现，如何处理。

【交流】研究函数y=sin(−12

x+π3 )x∈[0,2π] 的单调性

【设计意图】在经历过上面的探究以后，这个问题学生很容易可以想到解决办法，也就完成了我们的教学目标。

活动5【活动】归纳总结

请同学们归纳一下研究函数性质的基本思路。

活动6【活动】结束语

为学生播放老师自己录制的正余弦函数的性质之歌，愉快的结束本节课。并引申到人生的一个道理：前进的道路总是不那么平坦，但只有经历过低谷的人才能领略顶峰的风景。培养学生不怕困难的精神

1.4 三角函数的图像与性质

课时设计

课堂实录

1.4 三角函数的图像与性质

1正弦函数、余弦函数的性质（二）

教学活动

活动1【导入】新课导入

师：同学们是否有过这样的感受，有时候觉得自己精神饱满,思维敏捷，妈妈再也不用担心我的学习，有时候又莫名其妙的很疲惫，状态不佳坑到下家，喝脉动也不管用，有没有？

人体的这种变化有没有规律可循呢？其实，科学家们早已发现，每个人从诞生的那一刻开始，就存在着一个28天的情绪波动周期，23天的体力盛衰周期，和33天的智力强弱周期，人体的这三种周期性变化被称作人体的三大节律，科学家将这三大节律的变化表示在同一个坐标系下，发现他们都呈正弦曲线变化。同学们现在看到的就是华老师这个月的人体节律曲线图。如果我们可以用数学的方法更加精确的认识这一类图象，就可以更好的安排我们的生活，今天我们就从图像出发继续探一探正弦函数和余弦函数的性质。

【设计意图】向学生展示老师自己在这个月内的人体节律曲线图，激发学生的好奇心和求知欲。

师：正弦函数、余弦函数具有“周而复始”的变化规律，这可以从正弦线、余弦线、函数的图象的变化规律及诱导公式中得到反映。上节课我们用周期性这个概念量

化了这种“周而复始”，而我们在研究正余弦函数的图象过程中发现，他们的曲线非常有特点，请同学们用五点法画出正弦函数和余弦函数的草图，感受一下它们的图像除了周而复始，还有什么特点？

学生1经过画图和观察发表自己的观点，教师总结两句话：“波浪中有对称，起伏中有规律”。

师：我们发现，它们的图像不仅重复着而且对称着，不是平稳向前，而是有起有伏，就像我们的人生道路，起起伏伏，这些变化中一定蕴藏着某种规律，今天我们可以掌控这种变化，明天我们也有信心可以掌控我们的人生。

【设计意图】正弦函数、余弦函数的图像既是中心对称图形又是轴对称图形，波浪起伏、周而复始地向两方延伸，给人以强烈的形态美；学生首先可以通过观察图像发现其中所蕴含的规律从而产生探究的欲望，“波浪中有对称”说的就是函数奇偶性和对称性，“起伏中有规律”则说的是函数的单调性，而这种起伏是在周期性的影响下周而复始的重复着。

活动2【讲授】推进新课

探究一 波浪中有对称

师：我们过去在研究函数的性质时，有什么性质与对称有关？期待回答：奇偶性

师：函数的奇偶性可以从哪些角度来理解？期待回答：图象和定义

师：请学生2试从图像和定义这两方面探一探正弦函数的奇偶性。（强调定义域是否关于原点对称。）

【设计意图】由图像上的对称引出函数奇偶性的概念，再进一步引导学生从图像和定义两方面去探究正弦函数和余弦函数的奇偶性。

拓展一

师：我们从图象和定义两方面验证了正弦函数是奇函数，难道正弦函数的对称中心就只有原点吗？她又能否是轴对称图形呢？

期待学生3回答：对称中心有

对称轴有

逐步引导学生3找出对称轴对称中心中所蕴含的规律：隔半个周期，就会出现一次对称中心，进而将这些对称中心用统一的形式表示出来

期待学生3回答：对称中心

，对称轴

需要强调的是

(1) ,(2)对称轴要写成直线方程的形式(3)对称中心要写成点的坐标形式。

师：老师再追问一下，你能不能简单证明一下正弦函数的这两种对称？

【设计意图】把对称轴和对称中心写成统一形式，便于后面对单调性的研究，同时，这里实际上利用到了数列通项公式的相关方法，这也为后面知识的学习奠定了基础；图像上的特点理论上得以验证，培养学生严谨的学习态度。

探究二 起伏中有规律

师：在刚才的探究过程中，我们发现两个函数都有最高和最低点，就像人生的低谷和顶峰，顶峰总是是要经过一番翻山越岭才会到达的，那么在这个过程中正弦和余弦又经历了怎样的起伏呢？我们又可以用函数的什么性质来刻画函数图像的起起伏伏呢？

学生：单调性。

师：观察一下你画的图象，你能找到正弦函数的单调增区间和减区间吗？

期待学生4列举出一些单调增区间，和减区间并说明有无数个

师：通过我们列举出来的单调区间，你能发现增区间之间有什么关系？增区间和减区间之间又有什么关系呢？

期待学生5回答：每两个相邻的增区间之间差2kπ，增区间和减区间相间出现。

师：根据你的发现，你能否像归纳对称中心和对称轴一样归纳出单调增区间的统一形式呢？

期待学生5写出统一的形式。

【设计意图】在前面总结过对称轴和对称中心以后，这里对学生而言不算困难，但要深刻的理解这种统一的形式，还需要下面通过周期性进一步加深理解。

师：为什么我们可以写出这种形式呢？归根结底源自于正弦函数具备什么性质？

期待回答：周期性。

师：我们试着从周期的角度来理解这种形式，既然图像的变化是在重复的，我们就选择研究其中一个周期，再推广到整个定义域，那么选择哪一个周期来研究呢？

学生在选择所研究的周期时会出现多种可能，引导学生选择单调性比较简单的

这个周期，

师：演示周期性对函数单调性的影响，归纳正弦函数的单调性。

【设计意图】让学生通过回顾五点法作图中的特殊点，在描点的过程中感受函数图像的变化规律，找出单调区间，在通过观察个区间之间的关系找出规律，尝试写出统一的形式，并纠正其中的错误，然后用函数的周期性进一步解释这种形式的意义，增强对周期的理解，并且今后对于周期函数的性质，学会运用从部分到整体的思想。

拓展二

师：我们知道正余弦函数图像有最高和最低点，就是函数的最大和最小值，那么根据函数图像以及我们可以总结出来，正弦函数和余弦函数分别在哪些位置取到最值呢？请同学们试填写：

正弦函数当且仅当x=_________时取得最大值1，当且仅当x=__________时取得最小值-1；

余弦函数当且仅当x=_________时取得最大值1，当且仅当x=__________时取得最小值-1；

【设计意图】通过寻找对称轴以及它们与最值的关系，加深学生对图像的认识，体会数学知识之间的融会贯通，

活动3【活动】类比探究

让学生总结到目前为止我们已经发现的正弦函数的性质。请同学们小组合作完成余弦函数性质的探究。

【设计意图】学生通过类比正弦函数性质的探究过程完成余弦函数性质的探究，能够在谈论和交流中亲身体会数学知识的发现过程，并且以表格的形式展现出来，让学生能够看到自己这堂课的发现与收获。

活动4【练习】成果运用

（四）成果运用

下面我们一起来运用一下本堂课的成果。

例1 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小

（1）sin(−π18 )

和sin(−π10 )

（2）cos(−23π5 )

和cos(17π4 ) 活动：请为你的小伙伴出一道利用三角函数的单调性比较大小的题目，要求：在此题基础上有所提升。

【设计意图】让学生能够像小老师一样考一考自己的同学，使学生真正成为课堂的主人。

例2 请同学们研究下列函数的最值以及取到最值时x的集合。

（1）

y=3cosx+1,x∈R （2）y=−sin(12

x+π3 )，x∈R 障碍设置：若在（2）中增加条件求出最值以及取到最值时x的集合

x∈[0,2π] 如何【设计意图】逐步加入障碍，使学生在不知不觉中提高对知识的运用水平。

想一想：对于例2中的两题，除了求最值，我们还可以研究一下它们的其它性质吗？

【设计意图】再一次让学生感受自己出题的乐趣，引出对单调性的研究。

例3 研究函数y=−sin(12

x+π3 )，x∈【0,2π】 的单调性

师：你觉得解决这个问题的困难可能会出现在哪里？学生会想到题目中的自变量范围和负号可能成为此题的困难之处，于是，我们可以先把两个困难去掉，再逐一加上去：

（1）y=sin(12 x+π3 ) （2）y=−sin(12

x+π3 ), （3）y=−sin(12

x+π3 )，x∈【0,2π】 【设计意图】学生会想到题目中的自变量范围和负号可能成为此题的困难之处，于是，我们可以先把两个困难去掉，再逐一加上去，该问题得以解决后，学生已经掌握了单调区间的求法，并且在今后做题时会注意到两个困难是否出现，如何处理。

【交流】研究函数y=sin(−12

x+π3 )x∈[0,2π] 的单调性

【设计意图】在经历过上面的探究以后，这个问题学生很容易可以想到解决办法，也就完成了我们的教学目标。

活动5【活动】归纳总结

请同学们归纳一下研究函数性质的基本思路。

活动6【活动】结束语

为学生播放老师自己录制的正余弦函数的性质之歌，愉快的结束本节课。并引申到人生的一个道理：前进的道路总是不那么平坦，但只有经历过低谷的人才能领略顶峰的风景。培养学生不怕困难的精神