小结教学设计及教案分析

必修三几何概型小结

------几何概型的五类重要题型

文山州广南县一中：冯桂花

教学分析：几何概型是高中数学新增加的内容，其特点鲜明，题目类型较为固定，而且几何概型是一个重要的概率模型，由几何概型的概率公式可以知道，确定几何区域的测度是至关重要的.因此，我们要掌握几种常见测度的几何概型，举一反三，做到真正地掌握几何概型。

一、教学目标

（一）知识与技能

(1)通过探究学习使学生掌握解决几何概型问题的关键是借助相关的公式计算出相关长度、面积、体积的值。

（2）通过例题及习题的讲练结合，让学生掌握解几何概型问题时,常常需要寻找不等关系，要找不等关系,需先找等量关系,再借助图形分析寻找不等关系,最后利用公式计算. （二）过程与方法

1、让学生通过观察分析，提炼它们共同的本质的东西，从而亲历几何概型的建构过程，培养学生观察、类比、联想等逻辑推理能力。

2、通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力，感知用图形解决概率问题的方法.

（三）情感、态度与价值观

1、让学生了解几何概型的意义，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价一些随机现象．

2、通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想，养成合作交流的习惯，初步形成建立数学模型的能力．

二、重点与难点

教学重点：学会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．

教学难点：如何在实际背景中找出几何区域及如何确定该区域的“测度”。

三、教学方法与教学手段

教学方法：“自主、合作、探究”教学法

教学手段：

电子白板、多媒体课件辅助

三、教学过程

（一）知识回顾；

1.几何概型的两个特征：

(1)试验结果有无限多；

(2)每个结果的出现是等可能的．

事件A可以理解为区域的某一子区域，事件A的概率只与区域A的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关．

2..解决几何概型的求概率问题关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．

3.用几何概型解简单试验问题的方法

(1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解．

(2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D.

(3)把随机事件A转化为与之对应的子区域d. (4)利用几何概型概率公式计算．

（二）典例分析

一.、与长度有关的几何概型

例1 、如图,A,B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？

思路点拨 :从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．

解 :记事件 E：“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30×=10米，

13101. ∴P(E)303方法技巧

：我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．

二.、面积有关的几何概型

例2 如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，

且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？

思路点拨

此为几何概型，只与面积有关．

解

记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面122122cm积为的大圆内，而当中靶点落在面积为4112.22cm2的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的4112.22cm24P(B)0.01. 概率为11222cm24即：“射中黄心”的概率是0.01. 方法技巧

事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积；总面积为最大环的圆面积

三、与角度有关的几何概型

。60例3、在平面直角坐标系中，射线OT为的终边，在任意角集合中任取一个角，求则该角终边落在xOT内的概率。

解：如图，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落。在xOT内对应的角度为60，而整个角集合对应的角度为。160。

圆周角，所以，所求概率为P。3606四、与体积有关的几何概型

例3.在区间[0,l]上任取三个实数x.y.z,事件A={(x,y,z)| x+y+z＜1,x≥0,y≥0,z≥0}

222

(1)构造出随机事件A对应的几何图形； （2)利用该图形求事件A的概率. 思路点拨: 在空间直角坐标系下，要明确x+y+z222＜1表示的几何图形是以原点为球心，半径r=1的球的内部．事件A对应的几何图形所在位置是随机的，所以事件A的概率只与事件A对应的几何图形的体积有关，这符合几何概型的条件．

解：（1）A={(x,y,z)| x+y+z＜1,x≥0,y≥0,z≥0}表示空间直角坐标系中以原点为球心，半径r=1的球的内部部分中x≥0,y≥0,z≥0的部分，如图所示．

(2)

由于x,y,z属于区间[0,1]，x=y=z=1为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体的．

1413 ∴P(A)83361222

. 方法技巧：本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键要明白点P(x,y,z)的集合所表示的图形．从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可解，另外要适当选择观察角度. 五、求会面问题中的概率

例4 、两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，

求两人在约定时间内相见的概率。

思路点拨

两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即小时．设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约2322定的时间范围内相见，当且仅当3≤x-y≤3，因此转化成面积问题，利用几何概型求解．

解

设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，

当且仅当-≤x-y≤. 两人到达约见地点所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）来表示．

因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为

2323121()S8阴影3P. 2S91单位正方形方法技巧

会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型．难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表示，构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．

（三）变式训练

1、“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传

统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）

A.

2 B. 3 C. 10 D. 15

2．中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”.如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的概率____．

3、

有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O

4、

的距离大于1的概率。

5、

同艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设甲、乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是2小时与4小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。

（四）

课堂小结：在高中数学阶段，关于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握，可以说，在高中数学学习阶段，这五种几何概率模型基本上包括了我们所要学习的几何概型，希望大家能够熟练掌握。

设计思想：本课的教学设计是以教师为主导，学生为主体，思维为核心，问题为主线，在一系列问题的解决中，完成知识的学习过程，注重课程的发生和开发过程，关注学生的发展和情感体验，并积极引导学生关注人文、重视数学与生活的良好品质。