阅读与思考 三角学与天文学教学设计第一课时

《同角三角函数基本关系》教学设计

一．教材分析

1.从教材中的地位与作用看

《同角三角函数的基本关系》是高中新教材人教A版必修4第1章1.2.2的内容,本节内容是学习了任意角的三角函数定义后,安排的一节继续深入学习的内容,是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具,是整个三角函数的基础,在教材中起承上启下的作用。同时,它所体现的数形结合、分类讨论、化归转化的数学思想与方法在整个中学数学学习中起着重要作用。

2.从学生的认知角度看

学生在初中已学习了特殊角的正弦值、余弦值、正切值,为通过计算特殊角的值来观察、猜想、归纳出同角三角函数的平方关系及商数关系奠定了良好的基础,而在高中学习了任意角的三角函数的定义及各个象限内正弦、余弦、正切值的符号判断,已经理解角

的正弦、余弦、正切的定义,为学生推导同角三角函数的基本关系提供了可能,也为应用两个基本关系解决求值问题奠定了基础。

（一）．学情分析

所授课的班级是普通美术班级,学生的数学素养不高,基础薄弱，但是对数学知识有一定胡渴望。故教学设计要符合学生的实际情况,所以我根据授课班级学生的实际情况来设计教学,争取做到落实双基,培养良好的学习习惯。本节课的重点在同角三角函数的基本关系式的推导与基本应用,因此让学生尝试自我总结以巩固双基,另外,对角α的正弦值、余弦值、正切值的符号的确定有些难度,因此教师要进行适当的导学和强化。

（二）．学法指导

本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够积极主动地学习。

1.通过设计问题让学生自己动手、观察、猜想、归纳出同角的平方关系及商数关系并引导学生进行推理论证,进而运用所得理论和方法去解决相关的三角函数求值问题,让学生体验知识结构建构的过程。

2.设计有针对性的习题让学生自主练习,老师巡堂,及时发现问题并个别指导,让学生自己发现两个公式的变形及其成立的条件,给学生创设自主探究的空间,让他们亲身经历问题的思考、思维缺陷的暴露与矫正、题型与方法的总结、需注意的问题等。 二、教学目标分析

1.知识与技能

(1)能根据三角函数定义导出同角三角函数的基本关系及它们之间的联系。

(2)掌握同角三角函数的两个基本关系式,并能够根据一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数值。

2.过程与方法

(1)牢固掌握同角三角函数基本关系式,并能灵活解题,提高学生分析、解决三角函数的思维能力。 (2)探究同角三角函数关系式时,体验数形结合的思想;已知一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数值时,进一步树立分类讨论的思想;解题时,渗透化归转化的思想,将新题目化归转化到已经掌握的知识点上。 3.情感态度与价值观

通过教学,使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等合情推理方法,提高学生运算能力和逻辑推理能力。

（一）教学重点

1

同角三角函数的基本关系式的推导与应用

（二）教学难点

（1）对于“同角”的理解;角

所在象限不定时三角函数值的符号的确定; （2）同角三角函数的基本关系式的变式应用

（三）教学方法:启发式、探究式

（四）教学手段:计算机多媒体及投影仪辅助教学 三．教学过程

(一).温故知新

如图,设

是一个任意角, 它的终边与单位圆交于点P(x,y), 则由三角函数的定义:

y P 1 M O x ;

tanay　　cosax　　; 　sinayx 复习三角函数在各象限的符号：

;口诀：一全部，二正弦，三正切，四余弦

(设计意图:通过引导学生复习旧知,目的为学生探究同角三角函数的基本关系式作准备) （二).问题引入

计算并观察、猜想结论

sin230cos230sin302cos3022

sin290cos290sin90cos90

2sin2120cos2120sin120cos120

22参考公式：

sin301

3

sin901

cos900

cos30223

cos120-1

sin00

cos01

sin12022由以上猜想归纳: sin2cos2

(设计意图:从特殊、具体实例出发,形成直观感知,引导学生完成具体与抽象之间的相互转换,引导学生用特殊到一般的思维来处理问题,通过小组分工合作,观察、猜想、归纳,感知同角三角函数的基本关系,自然地引入课题。) (三)探究新知

2

(设计意图:充分发挥学生的主观能动性,让学生小组合作、交流导出平方关系,真正让他们参与到知识的形成过程中去,弄清知识的来龙去脉,同时提高学生运用数形结合的思想、化归转化的思想解决所遇到的问题的能力) cosx siny

因为在直角三角形中

22yx1

tanyx

y P 1 所以：sin2cos21即平方关系

(设计意图:通过让学生主动参与对

角的特殊情况进行 2.探究同角的正弦、余弦、正切之间的关系

由任意角

的三角函数的定义知:

sinyM O x 验证,说明

为任意角时,平方关系都成立,培养学生分类讨论的数学思想意识,让他们体会分类讨论时应不重不漏) cosxtanyx

学生合作交流得出

: sintankkZ即商数关系

cos2(设计意图:通过小组合作、交流得出,不仅能加深对知识的印象,更能达到“知其然,知其所以然”)

这两个关系用文字语言叙述为: 同一个角

的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角

的正切。

(设计意图:让学生掌握两个基本关系的符号语言的同时,也要他们熟悉文字语言的表述,并能进行两种语言的相互转化) (四)巩固提高

应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值问题

4例1：已知sin,且是第二象限角，求cos.tan的值.5解:

(设计意图:这个题是关系式的最基本应用, 符合初学者的认知水平,旨在让学生掌握用两个基本关系解决知正、余弦中的一种求另一种和正切的求值问题)

(设计意图:对比应用2,强调它们之间的异同点,并且说明解决问题的方法:借助平方关系并分类讨论,培养学生分类讨论的意识)

3 例2:已知cos5,求sin,tan的值13

已知正弦(余弦)求余弦(正弦)时,利用平方关系求解,要注意开方时符号的选取,它由角所在的象限确定,若角不明确,则要进行分类讨论。进而用商数关系求正切,本道题渗透了分类讨论的数学思想。

(设计意图:对学生强化基本题型和基本方法以及重视符号选取的意识,培养学生形成总结归纳的良好习惯)

思考：已知tan-3,求sin,cos的值。

已知正切求正弦、余弦,利用平方关系和商数关系联立方程组求解,开方时注意符号的选取,若角不明确,则要进行分类讨论。本题渗透了方程组的思想和分类讨论的数学思想。

(设计意图:通过对这类题型的训练、总结归纳,让学生学会寻找隐含条件,构建方程组解决数学问题,同时进一步强化分类讨论的数学思想) (五)归纳总结: 本节课同学们有哪些学习收获,学到了哪些数学知识与方法? 1.同角三角函数的基本关系式

sin2cos21sin21cos2

cos21sin2tansinkkZ

cos22.基本题型: (1)知正弦(余弦)求余弦(正弦)和正切,用平方关系和商数关系求解; (2)知正切求正弦、余弦,利用方程组的思想 注:利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角的所在象限确定符号,即将角所在象限进行分类讨论。

(设计意图:培养学生归纳、总结能力,巩固本节课所学知识和基本题型、基本方法) (六)作业布置: P21. 10.(2)(3) 11. (设计意图:作业进一步巩固了本节课所学的基本知识,所练题型,进一步强化了分类讨论的数学思想方程组思想) 四、板书设计

§1.2.2同角三角函数的基本关系

复习回顾1任意角定义

例1

例2

一. 平方关系

二。商数关系

例3

五．教后反思：

4