复习参考题优秀说课稿

一道三角函数小题的思考探究与深思

三角函数是高中数学重要内容，在学习中，关于三角函数的计算是热点之一，这充分体现了三角函数的工具性，在三角计算中，常常以灵活多变的题型出现，所以我们在解决此类问题的时候，一方面要夯实基础，另一方面也要灵活运用三角函数中的内在联系，发挥我们的联想，是问题简化。

下面这道题的解法可能会给我们学习三角问题一个提示。

例

若cos2sin（A）=（

）

则5t,an11

（B）2

（C）

（D）2

22分析：如何解决这道题？一般的想法是先把角的正弦余弦求出来，进而求正切。

解法一：

联立

cos2sin5，

22cossin1消元，得



5si2n45sin，4

0即

5sin220

，25sin5从而得

，

cos55，选2故

tanB。

评：

1.这是学习三角恒等式之后的必然，属于掌握知识的层面。

2.这是必须过关的入门之学。

3.但这种方法似乎有点复杂。

解法二：（“二合一”方法）

将原式化为

5sin()

即

sin()1，

，5

（其中

tan）

所以

2k323（kZ）

212得

2k，

tank2

所以

tan23

12。

tan评：

1.这是学生容易想到的另一个方法，事实上并不是一个实战的好方法。

2.这也是属于入门之学，可以要求学生会，但似乎现在对此要求降低了。

解法三：（“齐次化”方法）

两边平方

cos24cossin4sin25，

或

cos24cossin4sin25(sin2cos2)

即

(2sincos)20，

即

tan2。

评：

1.在学习三角求值过程中，“齐次化”是常用的方法。

2.教师要引导学生思考什么时候我们可以选择该方法。

3.该方法要比刚才的方法稍微简单些。

解法四：（联想公式）

12cossin1，

55比较 cos2sin21，

12取

cos，sin，

55易知 tan2。

变形

评：

1.仍然使用cos2sin21，但是这样用显然对公式的理解要加深得多。

2.这是学习三角恒等式之后对公式的深入理解，仍属于掌握知识的层面。

3.教师要引导学生多做这样的有益的变形，让学生的功夫“硬”起来。

解法五：（联想向量）

注意向量内积结构式：

(,a)b(,x

)y

axby所以

cos2sin(1,2)(cos,sin)，

设

x(1,2，)y(cos,si，n

xy,，1

得

cos所以

x//y，

s,sin)即

(co(1，

。2

故

tan评：

1.能合理地把已学的知识通过“类比联想”整合起来，说明我们掌握的知识“活”了。

2.这样跨度的“联想”需要学生平时具备良好的思维习惯了。

解法六：（数形结合）



则动点p（x，y）表示以圆点为圆心，半径为一的单设

xcos，ysin位圆。

则

x2y5

22xy1|5|1222而

d1r，°

故直线与单位圆相切于点

A(cos,sin)，

kOA所以

tan1。2

kl评：

1.“数形结合”看似常用的方法，但学生并不会灵活应用，只有教师的长期坚持，才能感化学生，使之成为常态。

2.当学生在解决函数问题时，能把利用图像作为解题的首选时，功夫就获得了一次实质性的进步。

解法七：（配对法）

cos2sin5，

sin2cost把上述两式平方相加，得

t0，

。2

即

tan评：

1.“配对思想”从高考这一层面看不是常用的方法。

2.这是学生学习公式sin2x+cos2x=1后对公式的深刻理解和自觉应用。

解法八：（导数工具）

s2si

n设

yco因为

ymin5的必要条件是

ysin2cos0，

故

tan2。

评：

1.“导数”应该是求极值的常用方法，但这个问题的最值隐藏得比较深。

2.这事实上是对导数、对极值等一系列知识的一种融会贯通。

3.“不破楼兰终不还”，“灯火阑珊回首处”。

解法九：（利用Cauchy不等式）

5(cos2sin2)(1222)

(cos2sin)25。

上式等号成立的充要条件是：

cossin

，即tan2。

12

评：

1.从不等到等的转化，体现了解题人所具备的灵气。

2.知识的拓展，可以使人的智慧得到提升。

3.这世上没有无缘无故的妙解。

从以上这道小题的这就种方法上来看，三角函数确实很神奇，数学确实很神奇，我们在学习数学的时候一定要多研究一些方法，是我们的数学思维转动起来，使我们的思维灵活起来。

下面我们在这道题的基础上再深思，这道题解决了哪一类问题？不难发现式子cos2sin中正弦、余弦前面系数的平方和等于等式右边常数的平5,方，那么是不是这样的形式都适合这些方法呢？答案是一定的。我们可以举一些例子：

1.

3cosx+4sinx=5，求tanx的值。

2.

7cosx+24sinx=25，求tanx的值。

该类型的都可以用以上方法解决。

（2013浙江卷）已知αR，sin α+2cos α=

，则tan2α= 法1、与sin2α+cos2α=1联立求sina和cosa。

法2、

用辅助角公式求解。

法3、齐次化法：

(sin α+2cos α)2=2.5，即3cos2a+4sina cosa=3/2，再由二倍角公式的

3/2cos2a+2sin2a=0，得tan2a的值。

另解：由(sin α+2cos α)2=2.5，进一步整理可得3tan2α−8tan α−3=0，解得tan α=3或tan α=−1/3，于是tan2α==−3/4。

法4、

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总之，在学习中，我们可以多思考，多探究，充分发挥我们的数学思维，让我们的知识活起来!