信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表名师课堂实录

两角和与差的正切公式教学设计--戴天芝

两角和与差的正切公式教学设计

一、学情分析

学生情况：学生的数学基础一般，数学思维能力较弱，无法很好地把握数学问题的本质属性，解决问题的能力不强，需要老师的启发和引导。

教学进度：两角和与差的正切是高一学生在系统地学习了三角函数的两角和与差的正弦与余弦的基础上的后续知识，它为进一步学习三角函数的半角和倍角公式奠定基础。

二、教材分析

两角和与差的正切公式是借助两角和与差的正弦、余弦公式推导得出的，通过该公式的导出，让学生从中进一步领悟和体会各个公式之间的联系，认清其本质，正确把握其结构特点，以便灵活运用；通过讲解例题，让学生学会思考和分析问题，总结方法，提高数学能力。

三、教学目标

（１）知识与技能

①能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，了解它们的内在联系，理解公式成立的条件；理解和掌握两角和与差的正切公式的各种变形，培养学生观察、推理能力、化归与转化能力，提高思维水平；

②掌握公式的正、逆向及变形运用，选用恰当的公式解决问题，以便顺利地利用它进行化简、求值、证明；

③能将简单的几何问题化归为三角问题，培养学生的数学转换能力及分析问题的能力。

（２）过程与方法

①揭示知识生成的背景，以便在问题中深化知识，引发学生学习兴趣；

②创设问题前景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生学习的参与意识；

③通过公式的推导及其成立条件的讨论，让学生体会三角函数公式的内在联系，领悟其连贯性和严谨性；

④通过讲解例题、总结方法、巩固练习等教学环节，让学生在学习公式的应用过程中领会三角函数公式应用的灵活性和技巧性，提高数学能力。

（３）情感、态度与价值观

①通过学习公式的推导，培养学生严谨的数学思维品质，从而深刻全面认识和掌握两角和与差的三角函数；

②在理解掌握两角和与差的正切公式的各种变形及应用中提高学生的逆用思维能力，从而提高学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和坚毅不拔执着追求的品质。

四、教学重、难点

重点：Ｔ（α±β）公式的运用。

难点：Ｔ（α±β）公式的变形运用，选用恰当的方法解决问题。

五、教学过程

1.设置问题，前景引入

问题1 两角和与差的正、余弦公式

cos()=

cos()= sin()=

sin(-)=

两角和与差的正切公式教学设计--戴天芝

【设计意图】紧扣教材，先复习同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦和余弦公式，以旧知识引进新知识，符合学生的认知规律。

2 两角和与差的正切公式的推导（提出新问题，激活学生思维）

问题2

由以上运算可知tan()sin()sincoscossincos()coscossinsin

若已知tan2，tan3，如何求

tan()sin()sincoscossin的值？

cos()coscossinsinsincoscossincoscossinsin【设计意图】引导学生思考如何利用同角三角函数的基本关系将化归为tan，tan，从而推导出两角和与差的正切公式。按照最近发展区理论，这是基于问题１作为“已知知识区”的学生认知水平起点上的问题设计，既点燃学生思维的火花，又能使他们自然地投入到后续知识的学习中。

问题3

由以上的运算，你能直接写出两角和与差的正切公式吗？

)两角和的正切公式T：tan()问题4

由tan(tantan

1tantantantan)?

如何求tan(1tantan学生回答：用-代替。

)两角差的正切公式T-：tan(tantan

1tantan问题5

这两个公式成立的条件是什么？

在T，T-中，，，，-均不能等于k2(kz)。

问题6

两个公式中的分子、分母的结构有什么特点？

（1）公式中右边是分式，分子式是α 与β的正切和（差），分母是１与α，β的正切积的差（和）；

（2）公式中都是正切运算，分子式加运算，与左边的和（差）相同，分母相反。

问题７

公式的右边tantan,tantan,tantan表示什么意思？

它们分别表示两角正切的和、差、积，而tantan,tantan又常常与一元二次方程联系起来。

【设计意图】理解公式才能准确应用公式。设置以上几个问题的目的，一是引导学生弄清成立的条件，二是引导学生从结构上理解公式，正确把握公式的本质，为后面顺利应用公式解

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决问题奠定基础。

3 两角和与差的正切公式的应用

3.1 正向运用公式求三角函数值

tan15的值

例1

求tan75，巩固练习

求值

（1）tan105？

（2）已知tanx2,tany1，则tan(xy)?tan(xy)?

5)3，则tan()?

（3）已知tan22,tan(【设计意图】找出条件角与目标角的关系是正确运用公式解题的关键，而凑角是其中的重要技巧，通过练习让学生善于发现其中隐含的角关系。

)的值。

例2 已知tan,tan是方程3x5x10的两个根，求tan(一般情况已知一元二次方程ax2bxc0(a0,ac)的两个根是tan,tan，求2tan()的值。

ctantanaa0解：由和一元二次方程根与系数的关系，得

btantana又ac，所以

btantanb

tan()a1tantan1ccaa问题8 由正切函数值求角要注意什么问题? 【设计意图】细节决定成败。由三角函数值求角，必须明确角的取值范围，这也是学生经常忽略的问题，也是培养学生严密数学思维的需要。此外例２还从整体出发让学生对两角和与差的正切公式的结构进行整体的认识和运用。

巩固练习

tan,tan是方程x7x60的两个实数根，已知,是锐角，求的大小。

3.2 逆向运用公式求三角函数值

问题9 下列各题中角有什么关系？函数式的结构有什么特点？

例3 求下列各式的值：

2tan17tan43

1-tan17tan43tan30-tan75

（2）1tan30tan75（1）巩固练习

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5tan126

（1）51tantan1261tan75

（2）1-tan75tan3tan15331tan153（3）

【设计意图】通过寻找角的关系和分析函数式的结构，发现其中的变与不变的规律，为下面的变式训练和得出更一般性结论作铺垫，也渗透由特殊到一般的数学思想方法，符合学生的认知规律。

问题10 计算一下3个变式的结果，你能否得出更一般性的结论？

例4 变式1 tan11tan34？

1-tan11tan34tan14tan31？

变式2

1-tan14tan31tan7tan38？

变式3

1-tan7tan38一般结论：当45时（角的关系），tantan1（函数的关系）同理，1tantan当60时，tantantantan33当-30时，

1tantan1tantan33.3 利用两角和与差的正切公式的变式解题

当45时，tantantan()tan451

1tantan问题11 对上式作去分母的运算得到的变式是什么？

ntan1tantan，即tantantantan1.

变式

ta巩固练习

（1）tan16tan29tan16tan29?

（2）tan28tan17tan28tan17?

两角和正切公式tantantan()的变式：

1tantantantantan()tantantan()

)tantan?

问题12 类比上述公式的变式可得：tantantan(

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巩固练习

（1）tan20tan403tan20tan40?

（2）tan18tan123tan18tan12?

33tan40tan10?

3（3）tan40tan10【设计意图】利用两角和与差的正切公式的变式解题是教学难点，其中一个难点就在于能够引导学生发现题目中隐含的角关系（两角和或两角差等于特殊角），另一个难点是能发现题目中的函数结构关系（tantan,tantan,tantan及函数值的关系。通过以上习题的设置，让学生从简单到复杂，从特殊到一般的分析、思考和训练提高拆角、拼角的技巧以及用已知角表示未知角的能力，最终提高选用恰当的方法解决问题的能力。

4.小结

（1）在公式T和T中，，，，-均不能等于k（）（-）2(kz).

（2）在应用公式时要注意它的逆向变换、多向变换，即对公式要“三会”：正用、逆用、变用。要注意通过拆角、拼角的技巧用已知角表示未知角。

（3）利用两角和与差的正切公式解题要抓住两个关系

一是角的关系（找出两角和或差的关系。若要求它们的三角函数值，则它们的和或差必须是特殊角）；二是函数的关系（两角和或差的正切、两角正切的和或差、两角正切的乘积）。要理解公式的结构才能熟练用好公式。

5 作业

课本137页

A组

9,10,11 6 课后思考题

已知45，

（1tan)(1tan)2，

（1）证明：（1tan1)(1tan2)(1tan44)？（2）

六

教学反思

（1）以知识立意向能力立意的转变作为教学立意

本课教学始终贯彻“生本教育”理念，教学的立足点是以学生的低起点为出发点，意在让学生在学习新知识的同时着眼于数学能力的提升，知识立意向能力立意的转变作为教学立意．设计的“问题串”与“变式串”的交替呈现，这样体现了由简单到复杂，由易到难，由已知到未知的原则，旨在提升学生的数学能力。

（2）课题引入体现低起点，以学生为本，以问题驱动

本课以复习两角和与差的正、余弦公式作为研究的起点，体现了教学设计与学生能力相匹配的低起点，践行以学生为本的教学理念。教学过程中通过引入自然的问题前景，设计合理的问题驱动知识深入发展，处处激活学生的思维，引发其学习兴趣，并在问题的解决中渗透数学思想方法，从中培养学生良好的思维习惯。

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（3）按照“最近发展区理论”设计问题串体现教学设计的思维坡度与学生的数学能力相匹配

找准学生的最近发展区是搞好教学设计的前提，也就说教学设计的思维坡度与学生的数学能力相匹配．对于数学能力较弱的学生，教学设计中思维坡度的设置应该选择入口宽，深度浅，梯度不大，跨度小，对学生的理解困难有相应的提示或铺垫，注重知识的生成过程，

让学生能做得了，能做下去．设计的问题串在环环相扣、步步深入、层层递进中从角的关系和函数式的结构两方面揭示问题的数学本质，使学生准确理解和掌握两角和与差的正切公式，并能顺利应用它解决问题。

七．板书设计

两角和与差的正切公式

1.

tan()tantan

1tantan

tan(-)tan-tan

1tantan，，，-均不能等于k

2.正切公式的变式：2(kz)

tantantan()tantantan()

tantantan()tantantan()