2.1.3 相等向量与共线向量PPT专用课堂实录内容

2.1.3 相等向量与共线向量

一复习提问

1.向量的概念

2.表示方法

3.相等向量的概念

4.零向量的概念

二：相等向量与共线向量的概念

1.相等向量：长度____且方向____的向量，叫做相等向量．

2.平行向量：方向___________的非零向量叫做平行向量，如果向量a和b平行，记作_______；规定：零向量与任一向量______，即对于任意向量a，都有________.

[课前反思] (1)向量的概念：

；

(2)有向线段：

；

(3)向量的表示方法：

；

(4)零向量：

；

(5)单位向量：

；

(6)相等向量：

；

(7)平行向量(共线向量)：

. 讲一讲

讲一讲：

(1)下列说法中正确的有(

) ①单位向量的长度大于零向量的长度；

②零向量与任一单位向量平行；

③因为平行向量也叫作共线向量，所以平行向量所在的直线也一定共线；

④因为相等向量的相等关系具有传递性，所以平行向量的平行关系也具有传递性；

(2)①正确，因为单位向量的长度为1，零向量的长度为0.②正确．③错误，平行向量

所在的直线可能不共线．④错误，平行向量的平行关系不具有传递性．⑤错误，平行向量不一定是相等向量．

答案：(1)D

(2)A

类题·通法

解决与向量概念有关问题的方法

解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．

练一练

1．下列说法错误的有________．(填上你认为所有符合的序号) (1)两个单位向量不可能平行；

(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；

(3)当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则a＞b.

解析：(1)错误，单位向量也可以平行；

(2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；

(3)错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．

答案：(1)(2)(3)

讲一讲

知识点：相等向量与共线向量

[思考1]

两个向量相等的条件是什么？

提示：方向相同，模相等．

[思考2]

两个向量共线的条件是什么？

名师指津：两个非零向量的方向相同或相反，则这两个向量为平行向量，也叫做共线向量.0与任意向量共线．

讲一讲

3．如图所示，已知点O为正方形ABCD的对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．

(1)与AO相等的向量有________，与BO相等的向量有________；

(2)与AO共线的向量有____________________；

(3)与AO的模相等的向量有____________________．

[尝试解答]

(1)根据相等向量定义可知

AO＝BF，BO＝AE. (2)根据共线向量的定义可知，与AO共线的向量为BF，

CO，

DE. (3)易知|AO|＝|CO|＝|DO|＝|BO|＝|BF|＝|CF|＝|AE|＝|DE|. 答案：(1) BF

AE

(2) BF，CO，DE

(3) CO，DO，BO，BF，CF，AE，DE

类题·通法

寻找共线向量或相等向量的方法

(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．

(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同的向量．

练一练

13．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设△3aABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则

3

(1)与向量GH相等的向量有________；

(2)与向量GH共线，且模相等的向量有________；

(3)与向量EA共线，且模相等的向量有________．

解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．

向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．

答案：(1) LB'，HC

(2) EC'，LE，LB'，GB，HC

(3) EF，FB，HA'，HK，KB'

9．如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，那么以图中各点为起点或终点的向量中：

(1)与AB共线的向量有_____________________________________________；

(2)与AB相等的向量有_____________________________________________；

(3)与AB模相等的向量有___________________________________________．

解析：(1)与已知向量在同一直线上或平行的向量都是它的共线向量，根据题意，与AB共线的向量有BA，

BE，EB，AE，EA，DC，CD. (2)与已知向量相等的向量与已知向量方向相同、长度相等，于是与AB相等的向量有BE，DC. (3)向量的模相等，只需长度相等，与方向无关，根据正方形和等腰直角三角形的性质，可知与AB模相等的向量有BA，BE，EB，DC，CD，AD，DA，BC，CB. 答案：(1) BA，BE，EB，AE，EA，DC，CD

(2) BE，DC

(3) BA，BE，EB，DC，CD，AD，DA，BC，CB

10．如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量AB平行且模为2的向量共有几个？与向量AB方向相同且模为32的向量共有几个？

解：(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都和AB平行且模为2. 因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个．

(2)易知与向量AB方向相同且模为32的向量共有2个．

归纳总结：

1．本节课的重点是相等向量与共线向量

2．要重点掌握相等向量与共线向量的应用

3．本节课要注意的是共线向量与平行向量是同一个概念，它与一般意义上的平行，共线是不同的