阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质教案和学案内容

༄༅། །ལྷ་རྩེ་མཐོ་རིམ་སོབ་འབིང་བོད་སྐད་ཡིག་གི་སོབ་ཁིད་ཁིད་ཟིན།

备课序号：第

章（单元）第

节

主备教师*

索朗曲旦

教学内容*

向量的数量积

课

型*

1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.

(2)

平面向量数量积的应用.

培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力.

上课时间

年

月

日

知识与技能*

过程与方法* 教

学

情感态度价值观* 目

标

学情分析

正确运用向量运算律进行推理、运算.

教学重点*

1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义. 2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.

教学难点*

平面向量数量积的综合应用.

教学准备*

教

学

过

程*

一、知识梳理

二备过程

1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即ab = |a||b|cos，(0)并规定0与任何向量的数量积为0

2．平面向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.

3．两个向量的数量积的性质

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量

1ea

= ae

=|a|cos；

2ab



ab

= 0

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3当a与b同向时，ab

= |a||b|；当a与b反向时，ab

= |a||b|,特别地aa

= |a|2

ab4cos =

；

5|ab| ≤

|a||b| |a||b|4.平面向量数量积的运算律

①

交换律：a



b

= b



a

②

数乘结合律：(a)b

=(ab) = a(b) ③

分配律：(a

+ b)c

= ac

+ bc

5.平面向量数量积的坐标表示

①已知两个向量a(x1,y1)，b(x2,y2),则abx1x2y1y2. ②设a(x,y)，则|a|x2y2.

③平面内两点间的距离公式

如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为

(x1,y1)、(x2,y2)，那么|a|(x1x2)2(y1y2)2. ④向量垂直的判定

两个非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)，则abx1x2y1y20

. ab=|a||b|⑤两向量夹角的余弦

cos

x1x2y1y2x1y122x2y222（0）.

二、典型例题

1.

平面向量数量积的运算

例题1 已知下列命题: ①a(a)0;

②(ab)ca(bc);

③(ab)ca(bc);

④(ab)cacbc

其中正确命题序号是

②、④

.

点评: 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.

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例题2

已知a2,b5,若(1)a||b; (2) ab;(3) a与b的夹角为30,分别求ab. 解(1)当

a||b时, ab=abcos025110或00ab=abcos180025(1)10.

(2)当ab时, ab=abcos902500.

(3)当0a与b的夹角为300时, ab=abcos30025353. 2变式训练:已知a(cos230,cos670),b(cos680,cos220),求ab

解:abcos230cos680cos670cos2202

2= cos230sin220sin230cos220sin450点评:

熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整. 2.夹角问题

例题3 若a1,b2,cab,且ca,则向量a与向量b的夹角为

(

)

A. 30

B. 60

C. 120

D. 150

解:依题意a(ab)0aabcos0

cos200001

21200

故选C 变式训练1:①

已知a2,b3,ab的夹角.

②

已知a(1,2),b(4,2),a与(ab)夹角为,则7,求向量a与向量bcos

. 解: ①

ab7

a2abb7

22

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cosa,b

②abab31,故夹角为600. 232题意得依(ab)(3,4)cosa(ab)aab385. 555变式训练2:已知a,b是两个非零向量,同时满足abab,求a与ab的夹角. 法一

解:将abab两边平方得

ab1212ab, 22aba2abb3a

a(ab)aabaabaab222aa22

则cos12a32223a, 故a与ab的夹角.为300. 法二: 数形结合

点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法.

3.向量模的问题

例题4 已知向量a,b满足a6,b4,且a与b的夹角为60,求0ab和a3b. 解: a6,b4,且a与b的夹角为600

ab12

aba2abb76219a3ba6ab9b10863.

变式训练

: 2222

; ①(2005年湖北)已知向量a(2,2),b(5,k),若ab不超过5,则k的取值范围

(

) A. [4,6]

B.

[6,4]

C. [6,2]

D. [2,6]

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板书

设

计*

教学反思

有关课件* 课件名称：

注：1、各位老师在制作电子教案的时候，需要填写的是带“*”的内容，其余内容必须留空白。2、下学期报道那一天必须交到学科组长，逾期你这一年级、这一个科目还是需要纸质备课。3、请各位老师不要乱改表格属性，您的内容先在WORD里编辑好，然后一项一项复制、粘贴到相应空格里。