2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀教学设计

向量数乘运算及其几何意义

热依汗古丽·努尔

一.教学目标

1.知识与技能: 通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。

2.过程与方法: 理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。

3.态度情感与价值观：

通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。

二.教学重难点

重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。

难点：向量共线定理的探究及其应用。

三.教学过程

（一）复习回顾

问题1：向量加法的运算法则？

问题2：向量减法的运算法则？

（二）新课讲解

1.向量数量积的定义

【探究1】

已知非零向量a，作出aaa和(a)(a)(a)，你能说出他们的几何意义吗？

问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？

问题2：这些变化与哪些因素有关？

一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：a

，它的长度和方向规定如下：

（1）aa

（2）当λ>0时，a的方向与a的方向相同；

当λ<0时，a的方向与a的方向相反。

由（1）可知，当0或a0时，a0

1

练一练：P90 1T.2T

2.向量数乘的运算律

【探究2】

问题一：求作向量3(2a)和6a(a为非零向量)，并进行比较。

问题二：已知向量a、b，求作向量2(ab)和2a2b，并进行比较。

类比实数乘法的运算律得向量数乘的运算律：

设a、b为任意向量，、为任意实数，则有：

结合律： (a)()a

第一分配律：()aaa

第二分配律：(ab)ab 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。

对于任意向量a、b及任意实数、,恒有(1a2b)1a2b。

例5：计算(口答) (1) (3)4a

(2) 3(ab)2(ab)a

(3) (2a3bc)(3a2bc)

练一练：P90 5T

3、向量共线定理

【探究3】

问题1：如果

ba(a0), 那么，向量a与b是否共线？

问题2: b与非零向量a共线，

那么，ba

？

思考：1. a为什么要是非零向量？

2. b可以是零向量吗？

例6.已知任意两非零向量a、b，试作OAab, OBa2b，OCa3b。

2

向量共线定理

：

向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数．．．．．．．．．，使得

ba

你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？

【变式练习】如图，已知AD3AB、DE3BC，试判断AC与AE是否共线?

思考：在本题中，若B、C分别是AD、AE的三等分点，你能否利用向量关系来证明BC‖DE呢？

总结:

①

证明 向量共线；

②

证明 三点共线: 两向量共线且有一个公共点

若ABBC，即AB与BC共线且有一个公共点B，则A、B、C三点共线；

③

证明 两直线平行: ABCDAB∥CD

A B D C E 直线AB∥直线CD。

AB、CD 不重合

例

7.如图,ABCD的两条对角线相交与点M,且ABa,ADb,

用a,b表示MA,MB,MC和MD.

四．当堂检测

见学案

五．课堂小结

六．作业布置：

必做：习题2.2 A组9.12.13题

选做：B组4题

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