阅读与思考 三角学与天文学教学实录及点评

三角函数的图象和性质

金堂县高板中学高中数学教研组

石明秀（2005-12）

三角函数的图象和性质结构简图

三角函数的图象:

(1)

函数ysinx的图象叫做正弦曲线, 如图1; (2)

函数ycosx的图象叫做余弦曲线, 如图2; (3)

函数ytanx的图象叫做正切曲线, 如图3; (4)

函数ycotx的图象叫做余切曲线, 如图4;

周期函数: 对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

1

说明：1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）; 3T往往是多值的（如y=sinx

2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）. 三角函数的性质: 三角函数的性质如下表:

[活用实例]

[例1] 求下列函数的最值：

(1)y=sin(3x+

(3) y=)-1 ;

(2) y=sin2x-4sinx+5 ;

43cosx2

;

(4)y2cos(x)

(≤x≤). 33cosx63[题解] (1) 当3x+2k=2k+即

x=

(kZ)时ymax=0; 423122k=2k-即x=

(kZ)时ymin=-2. 4234

kZ时ymax=10; 当x=2k-

kZ时ymin= 2. 22当3x+(2) y=(sinx-2)2+1

∴当x=2k-(3)y=-1+(4)∵x[11

当x=2k+

kZ时

ymax=2; 当x=2k

kZ时

ymin= . 23cosx2,]

∴x-[-,], 633632=0

即x=时

ymax=2;

当x-=

即x=时

ymin=1. 33333∴当x-[例2] 求下列函数的定义域：

(1)y=3cosx12cos2x

;

(2)y=lg(2sinx+1)+2cosx1;

(3)y=cos(sinx).

2

[题解] (1)∵3cosx-1-2cos2x≥0

∴1≤cosx≤1 ∴定义域为：[2k-, 2k+]

(kZ). 233712kx2ksinx66(kZ)

2(2)1cosx2kx2k2332k6x2k3(kZ)

∴定义域为：(2k,2k](kZ). 63

(3) ∵cos(sinx)≥0

∴

2k-2≤x≤2k+

(kZ) ∵-1≤sinx≤1 , ∴xR , cos1≤y≤1.

22]，值域为[-5，4]，求常数a,b的值。

271],sin(2x)[,1], [题解] f(x)=-2asin(2x+)+a+b，x[0，]，2x[,6266662[例3] 已知函数f(x)=2asinx-23asinxcosx+b的定义域为[0，ab5ab4则当a>0时，a3,b2;当a<0时，a3,b1. 2ab42ab5[例4]作出函数ytanx1tan2x,x0,2且x3,的简图。

223sinx,x0,,2tanxtanx22

[题解] y31tan2xsecxsinx,x,22

y 1 O 

2

x

[例5] 已知函数f (x)=1cos22x，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及单调性。

[题解]

f (x)=|sin2x|

,

∴f (-x)=|sin(-2x)|=|sin2x|=f (x)

∴f (x)为偶函数

, 周期

T=

则由图象可知函数f (x)的增区间为[

2-

-

2kkk(k1),] kZ,

减区间为[,] (kZ). 224242

2

[例6] 已知函数f(x)2sinx(sinxcosx). （1）函数数f(x)的最小正周期和最大值;

（2）在给出的直角坐标系中，画出函数yf(x)在区间[2,]上的图象. 22[题解] （1）f(x)2sinx2sinxcosx1cos2xsin2x

12(sin2xcos

cos2xsin)12sin(2x)

4443 

所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为12. （2）由（1）知

x

y

3

8

8

83

812

5

81 12

1 1 故函数yf(x)在区间[,]上的图象是

22

[例7] 求函数f (x)=log1cos(x2134)的单调递增区间。

11txlogcos(x)[题解] ∵f (x)=

, 令

∴y=log1cost

1343422t是x的增函数

又∵0<1<1 2∴当y=log1cost为单调递增时

cost为单调递减

且cost>0,

∴2k≤t<2k+22

(kZ) 133x

∴2k≤<2k+

(kZ)

6k-≤x<6k+

(kZ) 34442

∴f (x)=log1cos(x2134)的单调递减区间是[6k-3,6k+3]

(kZ). 44[例8]求函数ytan3x的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

3，得x[题解] 由3x3k2k5，

318所求定义域为k5T，值域为R，周期，是非奇非偶函数，在区间x|xR,且x,kz3318kk5,kz上是增函数。

318318函数y=Asin(x)的图象: 函数y=Asin(x)的图象(A>0,ω>0)叫做正弦型曲线,它的作图方法有如下两种: (1)五点法: 五点法作图的步骤为: 先求出周期T=别取0、、、2,其次求振幅A, 再次作变量代换X=x,当X分23、2时, 逐一求出x、y的值，即得到在一个周期内的五个特殊点。

24

[活用实例]

[例9]作出函数y3sin2x在一个周期内的图象. [题解]

函数y3sin2x的周期是，最大值是3，最小值是-3. 先求0到范围内的图象的一些特殊点, 列表如下: x

2x

0 0 0 

4

23 

2

0 3

43

2-3 

2

0 y3sin2x

得到(0,0)、（3,3)、（，0）、（，-3）、（，0）五点，作出对应的各点，再用平滑曲线把这5个点442连结起来，即得到所求作的图象，如下图：

（2）图象变换法：

振幅变换：y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正弦函数ysinx图象上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

，再以x轴为对称轴翻折。

周期变换：函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦函数ysinx图象上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的1倍（纵坐标不变）. 若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图。

相位变换：

y=sin(x+φ)的图象可由正弦函数ysinx图象向左(>0)或向右(<0)平移||个单位. 函数y=Asin(x)的图象的作法:

作y=sinx（长度为2的某闭区间）

沿x轴平

移|φ|个单得y=sin(x+φ) 横坐标伸

长或缩短

得y=sin(ωx+φ) 纵坐标伸

长或缩短

横坐标

伸长或缩短

得y=sinωx 沿x轴平

移|位

|个单得y=sin(ωx+φ) 纵坐标伸

长或缩短

得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上

5

[活用实例]

[例10]

已知函数y=132cosx+sinxcosx+1, xR, 22（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

(2)该函数的图象可由y=sinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

11cos2x315sin2x1(cos2x3sin2x)

224447=1sin(2x)5,当2x+2k,即x=k,(kZ)时,y取得最大值. 6462264[题解] (1)y=3sinxcosx+1=212cosx+2(2)方法1：依次进行相位变换、周期变换、振幅变换、平移：

11左平移个单位纵不变，横缩倍横不变，纵缩倍62ysin(2x)2

ysinxysin(x)665向上平移个单位115ysin(2x)4ysin(2x). 26264方法2：依次进行周期变换、相位变换、振幅变换、平移：

11纵不变，横缩倍左平移个单位横不变，纵缩倍2ysin2x12ysinxysin(2x)2

65向上平移个单位115ysin(2x)4ysin(2x). 26264[例11]

如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b。

（Ⅰ）求这段时间的最大温差；（Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式。

y温度/C302010o6810x1214时间/h[题解](1)最大温差为300-100=200;(2)14-6=8 ,

T162,

得8.A=11(30-10)=10,

b(3010)20.



22y10sin(8x)20.

又当x10时, y=20,



sin(x)0,1053k,k,k1时,.

88443y10sin(x)20,x[6,14].

84布置作业：参考资料

教学反馈：效果很好。学生基本掌握

6