2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示课堂实录及点评

必修4--2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3

平面向量的坐标运算

导学案

●一、复习

1．所谓的共线(平行)向量是指____

____，向量共线定理的内容是_____

___．

2．平面向量基本定理的内容是____

____，其中不共线的两向量e1、e2称为一组______．

→→3．若点O是平行四边形ABCD的中心，AB＝4e1，BC＝6e2，则3e2－2e1等于(

) →→→→A．AO B．CO C．BO D．DO

4．e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为一组基底的是(

) A．e1和e1＋e2

B．e1－2e2和e2－2e1

C．e1－2e2和4e2－2e1

D．e1＋e2和e1－e2

●二、知识整理

1．平面向量的正交分解

把一个平面向量分解为两个互相________的向量，叫做平面向量的正交分解．

2．平面向量的坐标表示

(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向_____的两个_____向量i，j作为________．

(2)坐标：对于平面内的一个向量a，________________对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对________ 叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在________轴上的坐标，y叫做向量a在________轴上的坐标．

(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．

(4)特殊向量的坐标：i＝________，j＝________，0＝________．

3．向量与坐标的关系

→→设OA＝xi＋yi，则向量OA的坐标________ 就是终点A的坐标；反过来，终点A的→________就是向量OA的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是______________的．

[破疑点] 向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同．

1

4．平面向量的坐标运算

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：

加法

文字描述

符号表示

两个向量和的坐标分别等于这两个向量a＋b＝

相应坐标的___ 两个向量差的坐标分别等于这两个向量a－b＝

相应坐标的___ 实数与向量的积的坐标等于用这个实数λa＝___________ 乘原来向量的__________ 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

AB＝_______________

减法

数乘

向量

坐标

公式

●三、互动探究（讲练结合）

例1、如图，取与x轴、y轴同向的两个单位

→→→向量i、j作为基底，分别用i、j表示OA、OB、AB，

并求出它们的坐标．

练1、在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的

方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算

出它们的坐标．

例2、设向量a、b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．

练2、已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)．求：

(1)a＋3b；

2

11(2)a－b．

24→→→→→→例3、已知平面上三个点A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，求AB、AC、AB＋AC、AB－AC、→→12AB＋AC. 2

→→→→练3、已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM＝3CA，CN＝2CB，求M、N→的坐标和MN的坐标．

→→→例4、已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ取何值时，点P在第三象限内？

→→→练4、已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP＝OA＋tAB，试求t为何值时，

(1)点P在x轴上；(2)点P在y轴上；(3)点P在第一象限．

例5、已知平行四边形的三个顶点坐标为A(0,0)，B(0，b)，C(a，c)．求第四个顶点D的坐标．

练5、一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是(5,7)，(－3,5)，(3,4)，则第四个顶点的坐标不可能是(

) A．(－1,8)

B．(－5,2)

C．(11,6)

D．(5,2)

3

四、课后巩固练习

→1．如图所示，向量MN的坐标是(

) A．(1,1) B．(－1，－2) C．(2,3) D．(－2，－3) 2．已知平面向量a＝(0,1)，b＝(－1,2)，则向

1量2a－b等于(

) 314141414A．(－，)

B．(，－)

C．(－，－)

D．(，) 333333333．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．

→→→→4．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，→则BC等于(

) A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21) 5．已知a＝(1,3)，b＝(－2,1)，则b－a等于(

) A．(－3,2) B．(3，－2) C．(－3，－2) D．(－2，－3) →→6．已知MN＝(－1,2)，则－3MN

等于(

) A．(－3，－3) B．(－6,3) C．(3，－6) D．(－4，－1) →7．设i、j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且OA＝4i→＋2j，OB＝3i＋4j，则△OAB的面积等于(

) A．15 B．10 C．7.5 D．5 8．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为(

) A．(2,6)

B．(－2,6)

C．(2，－6)

D．(－2，－6) →→→9．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD＝________.

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