2.3.1 变量之间的相关关系教学内容

《2.3.1 两个变量的相关关系

》教学设计

辉县市第二高级中学 李萍

一、课程分析：

变量间的相关关系是高中教材人教A版必修3第二章的内容，本节课主要探讨利用散点图等直观图形认识变量之间的相关关系，同时，经历描述两个变量的相关关系的过程，让学生亲自体验如何利用线性回归思想对实际问题进行分析和预测. 二、教学目标：

知识与技能

（1）利用散点图判断线性相关关系 （2）了解最小二乘法的思想和回归方程系数公式的推导过程

（3）通过实例加强对回归直线方程含义的理解

情感态度与价值观

类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识. 三、过程与方法

（1）通过图形探究体会数形结合、类比、比较及最小二乘法的数学思想方法

（2）培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引入利用现代信息技术教学的必要性

四、教学重、难点： 教学重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想求出回归方程

教学难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解

五、教学过程：

教学环节

情

景

引

入

设计意图

1.我们平时总说：如果你的数学成绩好，那么你的物

理学习就不会有什么大问题，凭经验，物理成绩确实与数学成绩有一定的关系，但除此之外还存在其他影由生活中的常见问响物理成绩的因素. 题引入本节课的知2.在我们的认知里，人的身高和体重有一定的关系，识，使学生思路转即：身高越高则体重越重，但也有个别的情况，使得换过来，明白本节身高和体重之间没有绝对的比例关系

课是研究哪些问题

你还能举出那些类似的例子吗？

的

教学内容

1

学

习

新

知

一、两个变量的关系（概念）

（1）变量与变量之间的关系大致可分为两种类型：确定的函数关系和不确定的相关关系

（2）两个变量的关系可通过它们所对应的点在平面上表示出来，这些点对应的图形叫做散点图

（3）若两个变量的散点图中，所有点看上去都在一条附近波动，则称这两个变量是线性相关的，而若所有点看上去在某条曲线的附近波动，则称此相关为非线性相关，如果所有点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间不相关.

概念归纳，通过比较了解本节课的新概念

概

念

辨

析

1.直线yx的图像是 关系

通过本道例题，对概念进行辨析，使学生借助图形进一步理解变量间的相关关系.

概

念

学

习

对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方

引入回归分析的概法叫回归分析

念

二、线性相关关系的判断

从相关性的定义中，得出判断方法：

（1）作出散点图

（2）观察两个变量构成的点是否在一条直线附近

从定义得出相关性的判断方法，让学

（3）若是，则这两个变量具有线性相关关系；否生重视定义及基本概念，为学生的学则，不具有线性相关

习习惯打好良好的基础

三、正相关和负相关

师：回顾直线的单调性，类比之

散点图中点的分布，集中在某条曲线附近，而曲线

有单调性，故而散点图也有相关的定义，我们称之为

2

概

念

学

习

正相关和负相关。

定义：从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系成为正相关，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关。

图示：

脂肪含量

Y 值

40 35 30 25 20 15 10 5 0 正相关

0 20 40 60 年龄

80

Y 值

180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -10 0 10 20 30 负相关

40

概念辨析：

某市居民2005-2009年家庭平均收入x（单位：万元）与年平均支出y（单位：万元）的统计资料如表所示：

运用类比的方法引入正相关和负相关的概念，通过类比，使学生能正确认识概念

3

例题辨析，是学生年份

2005 2006 2007 2008 2009 能从数据的变化看出相关性，同时加收入x 11.5 12.1 13 13.3 15 强对相关性正负的支出y 6.8 8.8 9.8 10 12 理解

根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ，

家庭年平均收入与年平均支出有 的线性相关关

系（填写“正相关”、“负相关”）

探

求

新

知

四、回归直线方程

1.回归直线

如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线. 2.回归方程

回归直线的方程就叫回归方程

根据回归方程对总体进行估计. 问题：如何求回归方程？

（让学生根据学过的知识，设计方案）

以人体的脂肪百分比和年龄为例：如图

脂肪含量

引入回归直线和回归方程的概念，进而引入本节课的重点:如何求回归方程

Y 值

40

35

30

25

20

15

10

5

0

0 20 40 60 年龄

80

预设三种方案：

方案1、先画出一条直线，测量出各点与它的距离，

再移动直线，到达一个使距离的和最小时，测出它的

斜率和截距，得回归方程。

4

探

求

新

知

Y 值

40

35

30

25

20 学生学过求直线方15 程的方法，在这里10 让学生探讨求回归5 直线的方法，为后0 面最小二乘法做理0 20 40 60 年龄

80

论准备. 方案2、在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个

数基本相同。

Y 值

40

35

30

25

20

15

10

5

0

0 20 40 60 年龄

80

案3、如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些

直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和

截距。而得回归方程。

Y 值

40

35

30

25

20

15

10

5

0

0 20 40 60 年龄

80

脂肪含量

脂肪含量

脂肪含量

5

探

求

新

知

3.最小二乘法

探讨最小二乘法求讨论：对一组具有线性相关关系的样本数据：回归方程的方法和

(x1,y1)，(x2,y2)，...，(xn,yn)，设其回归过程

方程为ybxa，可以用那些数量关系来刻画各

样本点与回归直线的接近程度？

(xi,yi)



(x1,y1)

(xn,yn)

(x2,y2)

我们可以用点(x,y)与这条直线上横坐标为

ii

xi的点之间的距离来刻画点(xi,yi)

到直线的远

近：

y(bxa)

ii

为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的

接近程度，用“n个距离之和”来刻画各点到直线

的“整体距离”是比较合适的

。

yi(bxia)

(xi,yi)



(x1,y1)

,y)(xnn



(x2,y2)

用这n个距离之和来刻画各点到直线的“整体距

离”，即可以用：

n y(bxa)

iii1

(i1,2,3,...,n)6

探

求

新

知

由于绝对值使得计算不方便，在实际应用中人们更

喜欢用

222Qy1bx1ay2bx2aynbxna

这样，问题就归结为：当a，b取什么值时Q

最小？即点到直线

的“整体距离”最小。

这样通过求此式的最小值而得到回归直线的方

法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方探讨求回归方法的和最小的方法叫做最小二乘法

过程即为最小二乘

法，引入最小二乘 4.求回归方程

法的概念，加深学根据有关数学原理推导，a，b的值由下列公式给出

生对概念的认识.

nn

xxyyxynxyiiii

i1i1bnn222

xixxinxi1i1



aybx

由最小二乘法得出

求ybxa的系

注意：1.只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周数的公式.围的时候，才能说两个变量之间具有线性相关关系，才有两个变量的正线性相关和负线性相关，才可以用回归直线来描述两个变量之间的关系

2.假设样本点为(x1,记x...，y1)，(x2,y2)，(xn,yn)

1n1n，xiyyi，则(x,y)为样本点的中ni1ni1

例 题

讲

解

心，即样本中心点，回归直线一定过这一点，但它不一定是散点图中的点.

例1、

观察两相关变量得如下表：

X -5 -4 -3 -2 -1 5 2 3 4 5 y -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9

求两变量间的回归方程.

通过练习，让学生进一步理解公式及公式的应用方法.

7

例

题

讲 解

用公式求系数是难i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 点，在这用列表演

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 示规范做题步骤，

-9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9 给出求复杂公式的

45 28 15 6 1 1 10 9 28 45 简单方法，同时示

25 16 9 4 1 1 4 9 16 25 范求b的公式应用

1010

2110,188yxixii

i1计算

,

i1

10xy10xyii

bi11.712102

x10xii1



所求回归直线方程为y1.71x

例2：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气

温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热

饮杯数与当天气温的对比表：

4 7 12 15 摄氏温度/C

-5 0

热饮杯数

156 150 132 128 130 116

摄氏温度/C

19 23 27 31 36

热饮杯数

104 89 93 76 54

（1）画出散点图

（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系

引导学生怎样画散的一般规律. 点图以及

解：散点图：

解：

200 Y 值

100 0 -10 0 10 20 30 40

8

(2)从散点图知，气温与热饮杯数成负相关,即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。

练

习

巩

固

1.调查了某地若千户家庭的年收入x(单位：万元)和

年饮食支出

y（单位：万元），调查显示年收入x与

年饮食支出具有线性相关关系，并由调查数据得到y

通过练习巩固本节对x的回归直线方程：y0.254x0.321，由回所学。

理解回归方程系数归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食b的含义

支出平均增加

万元。

2.下表是某厂1-4月份用水量（单位：百吨）的一组

数据：

1 2 3 4 月份x 样本中心点的含义和应用

4.5 4 3 2.5 用水量y

由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性



相关关系，其线性回归直线方程是y0.7xa

则a等于（

）

A.10.5

B. 5.15

C. 5.2

D. 5.25

3.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下

表：

4 2 3 5 广告费用X（万元）

49 26 39 54 销售额y(万元)



根据上表可得回归方程ybxa

中b为9.4，据此

回归方程的应用

模型预报广告费用为6万元时销售额为（

）

A

63.6万元

B

65.5万元

C

67.7万元

D

72.0万元

1.变量之间的关系：

确定的函数关系和不确定的相关关系

2.散点图

9 课 时

小

结

3.线性相关关系

4.求线性回归直线方程：

b

i1nxixyiyi1nxix2i1nnxiyinxyxinx22总结本节课的学习知识点，建立完善的知识系统，为深入学习奠定基础

i1

aybx

六、板书设计

2.3 变量间的相关关系

一、变量间的关系

二、线性相关

1.散点图

2. 3. 三、正相关、负相关

四、求回归方程

公式

10