小结第二课时教学实录

小结

——几何概型的几种类型

兴宁市第一中学

赖海波

一、教学目标

1．知识与技能

（1）通过本节课的学习使学生掌握几何概型的特点，明确几何概型与古典概型的区别。

（2）通过学生分析题型，得出几何概型概率的基本事件（如长度、面积等）。

（3）通过例题教学，使学生能掌握几何概型概率计算公式的应用。

2．过程与方法

（1）启发式教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；

（2）通过类型总结，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3．情感、态度与价值观

通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想，养成合作交流的习惯，初步形成建立数学模型的能力。

二、教学重点与难点：

重点：1、几何概型概率计算公式及应用。

2、如何利用几何图形，把问题转化为几何概型问题。

难点：正确判断几何概型的基本事件并求出概率。

三、学法与教学用具：

1、通过对本节知识的探究与学习，感知用几何图形解决概率问题的方法，掌握数学建模的思想；

2、教学用具：计算机及多媒体教学。

四、教学过程

1、明确几何概型与古典概型的区别

（1）介绍几何概型的定义；

（2）介绍几何概型的特点：基本事件个数无限性和等可能性；

（3）介绍几何概型的计算公式：

P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）（4）古典概型和几何概型的对比：

基本事件个数

基本时间的可能性

概率计算公式

古典概型

有限个

相等

比值

几何概型

无限个

相等

比值

2、近三年全国课标卷高考题回顾

（1）(2018·全国卷Ⅰ理10) （2）（2017·全国卷Ⅰ

文4,理2）

（3）(2016·全国卷Ⅰ理4) （4）（2016·全国卷II文8）

3、题型分类，深度剖析

题型一

与长度、角度有关的几何概型

与长度有关的几何概型是每年高考的重点，主要以选择题或填空题为主，难度较小，属于基础题。

例1.(2017·江苏高考)记函数f(x)＝6＋x－x的定义域为D.在区间[－4,5]上随机

2取一个数x，则x∈D的概率是________．

解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，

则所求概率P＝

例2.

(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等1123车时间不超过10分钟的概率是(

) A. B. C. D.

3234解析：由题意，得图：

3－－25＝. 5－－49

答案：B

例3. 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与AB交于点M，则AM

解析：过点C作CN交AB于点N，使AN＝AC，如图所示．显然当射线CM处在∠ACN内时，AM

67.53故所求概率为P＝90＝4. 思维升华： 与时间、不等式有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为有关长度的几何概型，利用几何概型概率公式进行求解。

题型二

与体积有关的几何概型

与体积有关的几何概型是高考中出现的频率较小，一般以选择题或填空题的形式考察，难度适中。

例4.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

解析：如图，与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，142π3其体积V1＝2×3π×1＝3.事件“点P与点O距离大于12π的概率”对应的区域体积为23－3，根据几何概型概率公2π23－3π式得，点P与点O距离大于1的概率P＝23＝1－12.

思维升华：

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．

题型三

与面积有关的几何概型

与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一.常见的命题角度有：

(1)与平面几何图形（随机模拟）交汇命题的问题；

(2)与线性规划交汇命题的问题. 例5.1.(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

(

) 1π1A.

B.

C.

482

D.

4π

解析：因为正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,即关于内切圆的圆心成中心对称,所以黑色部分和白色部分各占圆的一半.设正方形的边长为a,

则正方形的面积为a2,黑色部分的面积为

π=

a2,所以此点取自黑色部分的概率为

,故选

B.

例6.如图，ABCDEF是正六边形，其中大圆是正六边形的外接圆且半径为23，小圆是中间正六边形的内切圆，则往大圆内随机投掷一点，该点落在阴影部份内的概率为________(课后练习) 思维升华：

与平面几何的交汇问题，其解题思路为：利用平面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率.

交汇一.与随机模拟交汇命题的问题

例7.从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2)(xn,yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为4n2n4m2m A. B. C.

D.mmnn解析：略

xn,y1,y2yn,交汇二.

与线性规划交汇命题的问题

例8．设O为坐标原点，点P(x－2，x－y)，在[0,3]上先后取两个数分别记为x，y，则点P在第一象限的概率为

(

) 5A.18

24

B.9 C.9

1D.3

0≤x≤3，解析：设所有事件为“点P在第一象限”，

0≤y≤3

所表示的区域面积为3×3＝9.由题意可得事件A满足0≤y≤3，x－2＞0，x－y＞0，

0≤x≤3，525151×3－2×1×1＝2，∴P(A)＝9＝18.

即如图所示的阴影部分，其区域面积为

思维升华：

与线性规划的交汇问题，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率.

练习1：在区间[1，5]和[2，4]上分别各取一个数，记为m和n，则方程

=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．

解析:焦点在x轴上的椭圆,即m>n.如图，

由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，

点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，

易知直线m＝n恰好将矩形平分，

∴所求的概率为P＝

.

练习2：（2018 .全国卷 I ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III.在整个图形中随机取一点，此点取自I,II,III的概率分别记为p1 ,p2,p3,则（ ）

A.p1p2 B.p1p3

C.p2p3 D.p1p2p3

五．课堂总结

1.考点：与长度（角度）有关，与体积有关，与面积有关

注意：(1)与平面几何图形（随机模拟）交汇命题的问题；

(2)与线性规划交汇命题的问题. 2.形式：主要以选择题或填空题为主. 六.作业: (2016.全国卷II)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒,若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为_____.