信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表课时教案

第三章

三角恒等变换

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式导学案（一）

【目标及要求】

1．

掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．

2．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值、证明． 【课前复习案】：

1.弧度制（及特殊角的三角函数值）

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

270°

弧度

sin

cos

tan

2.诱导公式

sin()sin()sin()（1）cos()

（2）cos()

（3）cos()

tan()tan()tan()sin()2（4）

（5）

cos()23.两角差的余弦公式C()

sin()2

cos()2cos()

cos15o

【课内探究案】

问题一：cos75?设计问题解决方案

探究一：探究两角和的余弦公式

思考1：注意到＋＝―(？)，结合C()，推导cos(＋)。

cos()=cos(())=______

_______

___（学生独立完成，组内核对）

思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作C()，该公式有什么特点？如何记忆？

学以致用（一）

①求值

cos75

②

化简

cos()

6

探究二：探究两角和与差的正弦公式

思考3：sin()cos(诱导公式sincos(?)

2)，则sin()cos(2?)。

分别用sin,cos,sin,cos

表示sin()。

sin()cos(=cos((2())

)())=____________________________（学生独立完成，组内核对）

思考4：如何求sin()？有哪些方法可以实现？

①sin－cos(2)

②sin()sin(())

——学生讨论交流方法（组内讨论，邻近组间交流结果）

sin()=____________________________________ 思考5：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作S()，S()，这两个公式有什么特点？如何记忆？

学以致用（二）

求值sin75

化简sin(

3)

4)、tan()？（提示：tan思考6：如何求tan(tan()= tan()

学以致用（三）

求值tan15

tan75

sin）

cos思考7：和角公式、差角公式的逻辑联系：（请用框图形式表示）

2

例1.已知sin,是第四象限的角，求sin(354)、cos(),cos()、sin()的444值。（学生独立完成，并总结解题步骤，掌握规律和方法）

312例2：已知sinα＝5，90°<α<180°，cosβ＝13，270°<β<360°，求tan(α－β)．

113π例3：已知cosα＝7，cos(α－β)＝14，且0<β<α<2.求β.

例4：求值（1）sin72cos42cos72sin42

（2）cos20cos70sin20sin70

1tan15

（3）

1tan15

【归纳总结】

1、知识：公式及公式的记忆方法

C()=_________________

________C()=_______

_______________ S()=__________________

_______S()=_______________

_________ T()=____________________

_____T()=____________

____________

3

【课堂检测及练习】

完成课本131页1------5题

331.

已知cos=，，2，求cos().532

2.求值：（1）cos53cos23sin53sin23；（2）cos80cos35cos10cos55.

123.已知cos(),为锐角，求cos.313

π3π1234.已知2＜β＜α＜4，cos(α－β)＝13，sin(α＋β)＝－5，求sin

2α，cos

2β的值．

4

第三章

三角恒等变换

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式导学案（二）

【目标及要求】

1. 会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．

2．能利用辅助角公式研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的性质． 【课前复习案】：

1．两角和与差的余弦公式

C(α－β)：cos(α－β)＝_____

_____________.

C(α＋β)：cos(α＋β)＝___________

_______. 2．两角和与差的正弦公式

S(α＋β)：sin(α＋β)＝___________________

_______.

S(α－β)：sin(α－β)＝_________________________

___. 1．两角和与差的正切公式

(1)T(α＋β)：tan(α＋β)______________________________.

(2)T(α－β)：tan(α－β)______________________________. 2．两角和与差的正切公式的变形

(1)T(α＋β)的变形：

tan α＋tan β＝___________________________________

tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____

________.

tan α·tan β＝____________________________________. (2)T(α－β)的变形：

tan α－tan β＝______________________

________.

tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____

____

____.

tan αtan β=______________________________________. 【公式构造应用】

运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角，要善于发现和利用．

ππππ1.化简：sin4－3xcos3－3x－cos6＋3x·sin4＋3x



5

变:1：化简求值：(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；

cos 10°(2)(tan 10°－3)·. sin 50°

2.已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.

变式2：证明：sin2α＋βsin β－2cos(α＋β)＝sin α

sin α

【课内探究案】

（1）求

（2）求y

（3）求y3sinxcosx的值域

（4）求y3sinx4cosx的值域

31sin15cos15的值

2231sinxcosx的值域

22

6

思考：如何求yasinxbcosx的值域

辅助角公式：

yasinxbcosx化简，得abya2b2(sinxcosx)2222abab

a2b2(sinxcoscosxsin)

a2b2sin(x)ba(其中sin＝，cos＝)2222ababy=asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)使asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)成立时，cos φ＝ab，sin φ＝2，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定．辅助角公a2＋b2a＋b2式在研究三角函数的性质中有着重要的应用．

π例1

将下列各式化成Asin(ωx＋φ)的形式，其中A>0，ω>0，|φ|<2. (1)sin x＋cos x＝

；(2)sin x－cos x＝

；

(3)3sin x＋cos x＝

；(4)3sin x－cos x＝

；

(5)sin x＋3cos x＝

；(6)sin x－3cos x＝

. 例2

化简下列各式：

2π6π(1)315sin x＋35cos x；

(2)4sin4－x＋4cos4－x

【归纳总结】

这节课你学到了什么？

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【课堂检测及练习】

完成课本132页练习第6题

1. sin 69°cos 99°－cos 69°sin 99°的值为 (

) 1A.

2

1B．－

2

3C.

2

3D．－

22. 在△ABC中

，A＝25A. 5π10，cos B＝，则sin C等于 (

) 410

5C.

5

5D．－

5

25B．－ 53.函数f(x)＝sin x－3cos x(x∈R)的值域是 ．

4.已知锐角α、β满足sin α＝2510，cos β＝，则α＋β＝ . 5105.已知函数f(x)＝3cos 2x－sin 2x，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期与值域；

(2)求f(x)的单调递增区间．

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