复习参考题教案教学设计导入整理

三角函数复习

一、教学目的：

1.理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速进行弧度与角度的换算．

2.掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．

3.能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角恒等式的证明；能逆用公式sin2α＋cos2α＝1巧妙解题．

4.能用公式一至公式四将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式；善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的。

5.三角函数的图象与性质的应用

(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图象的变换，能从图象中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图象归纳出函数的性质．

(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答。

二、知识网络图

三、题型解法

题型一

数形结合思想在三角函数中的应用

例1 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，πω>0，|φ|<)在一个周期内的简图如图所示，求函数g(x)2＝f(x)－lg x零点的个数．

解

显然A＝2. 1由图象过(0,1)点，则f(0)＝1，即sin φ＝，又|φ2ππ|<，则φ＝. 26又11π，012是图象上的点，则f11π12＝0，即11π11ππω＋＝0，由图象可知，，0sin是图象在61212y轴11ππ右侧部分与x轴的第二个交点．∴ω＋＝2π. 126π∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)6π以下，在同一坐标系中作函数y＝2sin2x＋和函数y6＝lg x的示意图如图所示：

11因为f(x)的最大值为2，令lg x＝2，得x＝100，令π1211＋kπ<100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z)，而π＋31π>100，所以121117在区间(0,100]内有31个形如π＋kπ，π＋kπ(k∈Z,01212≤k≤30)的区间，在每个区间上y＝f(x)与y＝lg x的图象都

有211π，100个交点，故这两个函数图象在上有122×31＝6211个交点，另外在0，π上还有1个交点，所以方程f(x)－lg 12x＝0共有实根63个．

∴函数g(x)＝f(x)－lg x共有63个零点．

小结

运用数形结合的思想化抽象为直观，使问题简单明了，数形结合在三角函数中有着广泛的应用．

π跟踪训练1 若0

(

) A．2x>πsin x

B．2x<πsin x

C．2x＝πsin x

D．与x的取值有关

解析

在同一坐标平面内作出函数y＝2x与函数y＝πsin x的图象，如图所示．

当x＝0时，2x＝πsin x＝0；

π当x＝时，2x＝πsin x＝π；

2当πx∈0，时，函数2y＝2x是直线段，而曲线y＝πsin x是上凸的．所以2x<πsin x．故选B.

题型二

分类讨论思想在三角求值中的应用

例2

已知cos θ＝m，|m|≤1，求sin θ、tan θ的值．

π解

(1)当m＝0时，θ＝2kπ±，k∈Z；

2π当θ＝2kπ＋时，sin θ＝1，tan θ不存在；

2π当θ＝2kπ－时，sin θ＝－1，tan θ不存在．

2(2)当m＝1时，θ＝2kπ，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0. 当m＝－1时，θ＝2kπ＋π，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0. (3)当θ在第一、二象限时，sin θ＝1－m，tan θ＝1－m22m. 2(4)当θ在第三、四象限时，sin θ＝－1－m，tan θ＝－1－m2m. 小结

已知角的某一个三角函数值为字母时，注意对字母是否为0、±1及分象限作讨论，讨论标准要统一．在三角函数部分，有不少题目都涉及到分类讨论的思想．

跟踪训练2 函数x2sinf(x)＝x－1e，x≥0.1

若f(1)＋f(a)＝2，则a的值为

(

) 222A．1

B．1，－

C．－ D．1，

222解析

∵f(1)＝e1－1＝1，∴f(a)＝1.

当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1，

∴a－1＝0，∴a＝1；

当－1

π12∴πa＝2kπ＋，k∈Z，∴a＝2k＋，k∈Z，

222212k只能取0，此时a＝，∴a＝－. 222故选B.

题型三

转化与化归思想在三角函数中的应用

例3 已知函数f(x)＝－sinx－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>0，求a、b的值．

解

令t＝sin x，则

2aa2t＋g(t)＝－t2－at＋b＋1＝－＋＋b＋1，

242且t∈[－1,1]．下面根据对称轴t0＝－与区间[－1,1]2的位置关系进行分类讨论．

①当－≤－1，即a≥2时，

2ymax＝gymin＝gaa11a＋b＝0，a＋b＝－4.

a＝2，解之得b＝－2.

②当－1<－<0，即0

2a

2aaymax＝g－2＝4＋b＋1＝0，ymin＝g1a＋b＝－4.

a＝2，解得b＝－2

a＝－6，(舍)

或b＝－10.

(舍) 综上所述，a＝2，b＝－2. 小结

转化与化归的思想方法是数学中最基本的数学思想方法．数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．上述解答将三角函数问题转化为熟悉的二次函数在闭区间上的最值问题．

跟踪训练3 已知定义在(－∞，3]上单调减函数f(x)使得f(1＋sinx)≤f(a－2cos x)对一切实数x都成立，求a的取值范围．

解

根据题意，对一切x∈R都成立，有：

21＋sinx≤32a－2cos x≤32a－2cos x≤1＋sinxsinx≤22⇔a≤2cos x＋32a≤1＋sinx＋2cos xa⇔a

2cos x＋32min1＋sinx＋2cos xmin

a≤1⇔a≤[a≤1⇔a≤－1cos x－12＋3]min

，∴a≤－1.

四、总结

三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法。