探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期特级教师教学实录

§1.5函数y=Asin（ωx+φ）的图象

——教学设计

洛阳市第二实验中学 张剑辉

一．教材分析及重难点把握

（一）教材分析

1．地位与作用：本节通过图象变换，揭示参数A、ω、变化时对函数图象的形状和位置的影响，讨论函数y=Asin（ωx+）的图象与正弦曲线的关系，以及A、ω、的物理意义，并通过图象的变换过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是三角函数性质的一个直观体现．这节是本章的一个难点，也是高考考查的重点. 2．如何由正弦函数y=sinx的图象来得到函数y=Asin（ωx+）的图象呢？通过引导学生对函数y=sinx到y=Asin（ωx+）的图象变换规律的探索，让学生体会由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法；通过对参数A、ω、的分类讨论，让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系．

3．三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要教学模型。在数学和其他领域中具有重要的作用，而三角函数图象的研究是三角函数中的重点内容之一，学生通过观察函数图象将会更好掌握三角函数及其有关性质．

4．教学内容及课时安排：函数y=Asin（ωx+）的图象（约2课时）

第一课时：利用图象变换法作函数y=Asin（ωx+）的图象的方法；

第二课时：使学生根据实际问题或给定的函数图象反求y=Asin（ωx+）中的各个字母参数，从而得到y=Asin（ωx+）的解析式，进一步培养学生数形结合的

能力，加强对y=Asin（ωx+）图象的认识．

本节课重点针对第一课时的教学内容来展开．

（二）

目标分析

根据课程标准与教学内容并结合学生实际，确定本节课的教学目标为：

1．通过学生自主探究，理解A、ω、对函数y=Asin（ωx+）的图象的影响．

2．通过探究图象变换，熟练掌握“五点法”画函数y=Asin（ωx+）的简图，并会用图象变换法画出函数y=Asin（ωx+）的简图．

3．通过学生对问题的自主探究，渗透数形结合的思想．培养学生的独立意识和独立思考能力．培养合作意识，培养学生理解动与静的辨证关系，善于从运动的观点观察问题，培养学生抓主要矛盾解决问题的思想．在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．

（三）重难点分析

重点：用参数思想分层次、逐步讨论字母A、ω、变化时对函数图象的形状和位置的影响，掌握函数y=Asin（ωx+）的简图的作法．

难点：相位变换,周期变换先后顺序调整后对平移量的影响. 二．教法学法

（一）学情分析

从知识上来讲，在高一年级第一学期的函数教学中学生已经基本掌握了一般函数图象的平移变换、对称变换等比较简单的函数图象变换的方法，但对于伸缩变换还是初次明确提出，并加以研究．所以平移变换与伸缩变换综合研究成为本节课的难点．

从认知心理上来讲，学生对于运用函数图象这一形象手段研究问题比较感兴趣．

（二）教法分析

1

教学过程是教师和学生共同参与的过程，要在课堂教学过程中，加强知识发生过程的教学，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，培养学生的思维品质．根据以上教学原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法：

(1)对比教学法：通过学生观察y=A sin(ωx+)的图象与y=sinx图象之间的区别，理解、ω、A对函数图象的影响．

(2)发现教学法:通过动态的图象演示,引导、启发学生发现问题、联想类比、猜想验证、从而解决问题．形象直观的演示有利于提高学生的学习兴趣，减轻学习抽象概念的难度，符合学生的认知特点．

(3)引导探究法：从、ω、A对函数图象的单独影响到综合影响，是一个整合的过程，也恰恰是能力提高的过程．通过

“积零为整”的引导，使学生完成、ω、A整合过程的探究学习．

（三）

学法分析

教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：

（1）对比学习法

（2）探究学习法

（3）协作学习法

（4）观察法

（5）反思学习法

（6）练习巩固法

（四）

多媒体教学

本节课涉及函数图象多，手工绘图复杂，为了增加绘图的形象性、准确性，发现ysinx与 y=Asin（ωx+）的图象之间的关系，提高课堂效率，采用几何画板和白板制作多媒体课件辅助教学．

三.教学过程

（一）创设情境

观察交流电电流y随时间x的变化图象，它与正弦曲线有何关系？你认为可以

2

怎样讨论参数A、ω、

对函数y=Asin（ωx+）的图象的影响？

设计意图：先行组织者策略――通过生活实例引入学习内容，激发学生的学习兴趣；通过类比正弦、余弦曲线，寻找新知识的“固着点”．同时提出解决问题的方法，让学生体会化难为易，化复杂为简单的化归转化的思想方法．

（二）

探究新知

探究活动一：探究对函数ysin(x)图象的影响：

小组讨论交流，完成下列问题．

1.把ysinx图象上所有的点向____平移____个单位，就得到ysin(x)的图象．

32.把ysinx图象上所有的点向____平移____个单位，就得到ysin(x)的图象．

43.把ysinx图象上所有的点向____(0)或向____(0)平移____个单位，就得到ysin(x)的图象．

设计意图:考虑到学生已有“左加右减,上加下减”等函数图象平移的初步知识，把问题交给学生小组讨论完成，培养学生合作交流的能力和抽象概括能力．教师采用几何画板演示动态图象，主要作用是验证结论，解决问题．

探究活动二：探究A对函数yAsinx图象的影响：

作出函数y2sinx和ysinx的简图，并说明它们与函数ysinx的关系．

12x

ysinx

y2sinx

y

０



2

3

2

2

3 1sinx

2

设计意图：学生通过动手，探究，思考，形成自己对问题的认识．并明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将问题的解决过程自然的贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更高的层次．

探究活动三：探究对函数ysinx图象的影响：

观察动画演示,思考问题: 1．A、B两点坐标之间有什么关系？

2．函数ysin2x与ysinx的图象之间有什么关系？ysinx呢？

3．你能否概括一下对函数ysinx图象的影响？

设计意图：采用设疑，演示，引导，启发学生逐步发现规律，概括结论．并通过对问题的思考提高理解能力，强化自我意识，促进由学会到会学转化，形成良好的思维品质．

探究活动四：探究yAsinx的图象与ysinx的图象之间的关系：

如何由ysinx的图象得到y3sin(2x)的图象？

312设计意图：从、ω、A对函数图象的单独影响到综合影响，是一个整合的过程，也恰恰是能力提高的过程．通过

“积零为整”的引导，使学生完成、ω、A整合过程的探究学习，从而完善学生的知识结构．

（三）反馈练习

1.函数ysin(2x)的图象可以看作是把函数ysin2x的图象做以下平移( )61313而得到. A.向左平移22 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移

1212332.把函数ysin(2x)的图象向右平移个单位,就得到函数( )的图象. 36

4

A.ysin(2x) B.ysin(2x) C.ysin(2x) D.ysin2x

2632设计意图：及时巩固是学习和发展的需要，只有及时巩固，才能迁移应用．这样更能突出重点、突破难点，使学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高． (四)课堂小结

(1)在这节课中,你有什么收获?

(2)你最感兴趣的是什么? (3)你想继续探究些什么? 设计意图：1．由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法，以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识，使本节的总结成为学生凝练提高的平台．

2．为了使学生真正掌握图象变换的规律，教师有意识的引导学生总结概括出以下结论：

（1）由y=sinx到y=Asin(ωx+)的图象变换过程可以分成

“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种不同的变换方法．

（2）思想方法：数形结合

化归转化

分类讨论

归纳概括

四.板书设计

函数yAsin(x)的图象(A0,0)

1．ysinxysin(x)相位变换

2．ysinxyAsinx振幅变换

3．ysinxysinx周期变换

4．ysinxyAsin(x)

五.评价与反思

现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的，因此我在教学设计过程中着重在学生已有知识结构和新概念间寻找学生思维

5 ysinxysin(x)方法一：ysin(x)

yAsin(x)ysinxysinx方法二：ysin(x)sin(x)

yAsin(x)

的“最近发展区”，引导学生通过观察、类比、探究掌握新概念．

在教学过程中，我坚持精讲精练的原则，向四十五分钟要质量，减轻学生负担，使他们听有所思,练有所获，使知识传授与培养能力融为一体．并且设法走出了“概念一带而过，演习铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程”

的新天地．鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导，剖析纠正，使课堂学习成为再发现，再创造的过程．

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