2.1.3 相等向量与共线向量教案板书设计

平面向量的概念及线性运算

【教学目标】

知识目标：

（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；

（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．

能力目标：

通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．

【教学重点】

向量的线性运算．

【教学难点】

已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．

【教学设计】

从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．

向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的. 教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则. 向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b

的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点. 实数乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作a，它是一个向量，其方向与向量a相同，其模为a的倍．由此得到a∥bab．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a、b”与“0

”等条件. 【教学过程】

教

学

过

程

*揭示课题

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

介绍

了解

观看

课件

思考

从实例出发使学生

0

平面向量的概念及线性运算

*创设情境

兴趣导入

如图1所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？

①

播放

课件

教

学

过

程

图1 *动脑思考

探索新知

【新知识】

在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．

平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

引导

分析

自我

分析

总结

归纳

仔细

分析

讲解

关键

词语

思考

理解

记忆

带领

学生

分析

引导

式启

发学

生得

出结

果

自然的走向知识点

3

10 手写时应在字母上面加箭头，记作a．

图2 Aa

B

向量的大小叫做向量的模．向量a,

AB的模依次记作a，AB．

模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．

模为1的向量叫做单位向量．

*巩固知识

典型例题

例1

一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km，

两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移．

说明

强调

引领

观察

通过

教

学

过

程

解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别为图3中的有向线段a

与b．

A

a

图3 *运用知识

强化练习

b

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

讲解

说明

强调

含义

思考

主动

求解

例题进一步领会

13 说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格为1)．

A H L Z Q C D F P K G B M TN E

提问

巡视

指导

思考

口答

及时

了解

学生

知识

掌握

得情

况

图4

18

教

学

过

程

*创设情境

兴趣导入

观察图4中的向量AB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个向量的方向相反．

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

播放

课件

质疑

引导

分析

观看

课件

自我

分析

从实例出发使学生自然的走向知识点

思考

归纳

理解

记忆

思考

归纳

理解

记忆

思考

归纳

理解

记忆

带领

学生

总结

20

23

28 *动脑思考

探索新知

【新知识】

方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向量a与向量b平行记作a//b．

规定：零向量与任何一个向量平行．

由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量．

【想一想】

图4中，哪些向量是共线向量？

*动脑思考

探索新知

【新知识】

图4中的平行向量AB与MN，方向相同，模相等；平行向量HG与TK，方向相反，模相等．

我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a

= b

．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．

与非零向量a的模相等，且方向相反的向量叫做向量a的负向量，记作a．

规定：零向量的负向量仍为零向量．

总结

归纳

仔细

分析

讲解

关键

词语

总结

归纳

仔细

分析

讲解

关键

词语

教

学

过

程

显然，在图4中，AB= MN，GH=

－TK．

*巩固知识

典型例题

例2 在平行四边形ABCD中（图5），O为对角线交点．

（1）找出与向量DA相等的向量；

（2）找出向量DC的负向量；

A

D

O B

C

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

说明

强调

引领

讲解

引领

强调

含义

说明

观察

思考

主动

求解

观察

思考

求解

领会

思考

求解

通过例题进一步领

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

反复

强调

（3）找出与向量AB平行的向量．

图5

分析

要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，说明

它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．

解

由平行四边形的性质，得

（1）CB=DA；

（2）BA=DC,CDDC；

（3）BA//AB,DC//AB，CD//AB．

+

33

*运用知识

强化练习

1．

如图，ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出

（1）与EF相等的向量；（2）与AD共线的向量．

A

D

B

E

（练习题第1题图

F

C

A

B

F

O C

E

D

启发

引导

提问

巡视

指导

思考

了解

动手

求解

可以

交给

学生

自我

发现

归纳

（图－8）第21题图

2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出

（1）与OC相等的向量；

（2）OC的负向量；

（3）与OC

教

学

过

程

共线的向量．

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

38

42

*创设情境

兴趣导入

王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到播放

达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行走课件

200 m到达学校（C处）（如图6）．王涛同学这两次位移的总效

果是从家（A处）到达了学校（C处）．

A

观看

课件

自我

分析

从实例出发使学生自然的走向知识点

500m

C200mB

质疑

引导

分析

总结

归纳

仔细

分析

讲解

*动脑思考

探索新知

图6位移AC叫做位移AB与位移BC的和，记作AC=AB+BC．

Ba

b

b

aA

a+b

C

思考

归纳

理解

记忆

图7

带领

学生

总结

一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图6)，依次作AB=a, BC=b，则向量AC叫做向量a与向量b的和，记作a＋b ，即

a＋b =AB＋BC=AC

求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．

观察图7可以看到：依照三角形法则进行向量a与向量b的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做a与b的和向量．其

教

学

过

程

和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b 的终点．

【做一做】

给出两个不共线的向量a和b，画出它们的和向量．

【想一想】

（1）a＋b与b＋a相等吗？请画出图来说明．

（2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？

*动脑思考

探索新知

如图9所示，

ABCD为平行四边形，由于AD=BC，根据三角形法则得

D

C

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

关键

词语

50

思考

归纳

理解

记忆

带领

学生

总结

55

总结

归纳

仔细

分析

讲解

关键

词语

AB＋AD=AB＋BC=AC

A

图9

B

这说明，在平行四边形ABCD中，

AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．

平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：

（1）a＋0 = 0＋a = a；

a＋（−a）= 0；

（2）a＋b=b＋a；

（3）（a＋b）＋

c = a ＋（b＋c）．

教

学

过

程

*巩固知识

典型例题

例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．

解

如图10所示，AB表示船速，ACD

B

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

说明

强调

A

图10

观察

思考

主动

求解

观察

思考

求解

领会

为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD是船的实际航行速度，显然

C

ADABAC=12252=13．

22又tanCADCAD6723．

112，利用计算器求得5

引领

讲解

说明

引领

分析

即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约6723．

*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图11）．设物体的重力为k，两条绳子与垂线的夹角为，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力F1与F2的大小．

分析 由于两条同

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

样的绳子与竖直垂线所成的角都是，所以F2



F1

F1F2．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以F1F2k. k

图11

解

利用平行四边形法则，可以得到

F1F22F1cosk，

所以

教

学

过

程

F1【想一想】

根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时(如图7－k2cos教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

讲解

说明

思考

求解

反复

强调

62

65

．

12)，两臂成什么角度时，双臂受力最小？

图12 *运用知识

强化练习

练习7.1.2 1．

如图，已知a，b，求a＋b．

b

b

a

（1）

第1题图

（图1－15）

（2）

启发

引导

提问

巡视

指导

思考

了解

动手

求解

a

可以

交给

学生

自我

发现

归纳

2．填空（向量如图所示）：

（1）a＋b =_____________ , （2）b＋c =_____________ , （3）a＋b＋c =_____________ ．

3．计算：

（1）AB＋BC＋CD；

（2）OB＋BC＋CA．

*创设情境

兴趣导入

质疑

思考

引导启发

教

学

过

程

在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．

*动脑思考

探索新知

与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即

a −b = a＋(−b)．

设a=OA，b

OB，则

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

引导

分析

总结

归纳

仔细

分析

a-b参与

分析

思考

归纳

理解

记忆

学生思考

带领

学生

总结

66

68

OAOBOA(OB)= OABOBOOABA．

即

OAOB=BA

观察图13可以得到：起点相同的两个向量a、

b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点．

B

b

a讲解

A

关键

词语

O

图13

*巩固知识

典型例题

例5 已知如图14（1）所示向量a

、b

，请画出向量a－b．

强调

含义

思考

求解

领会

思考

求解

a

b

图14aA

O

（2）

b

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

B

（1）

说明解

如图14（2）所示，以平面上任一点O为起点，作OA=a，

OB=b，连接BA，则向量BA为所求的差向量，即

教

学

过

程

BA= a－b ．

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

70 【想一想】

当a与

b共线时，如何画出a－b ．

*运用知识

强化练习

1．填空：（1）ABAD=_______________，

（2）BCBA=______________，

（3）ODOA=______________．

2．如图，在平行四边形ABCD中，设AB= a,AD= b，试用a, b表示向量AC、BD、DB．

启发

引导

提问

巡视

指导

质疑

引导

分析

思考

了解

动手

求解

可以

交给

学生

自我

发现

归纳

72

74

*创设情境

兴趣导入

观察图7－15可以看出，向量OC与向量a共线，并且

OC＝3a．

思考

参与

分析

引导启发学生思考

a

a

O A a

B 图15 a

C

一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它

的模为

|a||||a|

若|a|0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，

总结

*动脑思考

探索新知

思考

带领

教

学

过

程

当＜0时，a的方向与a的方向相反．

由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当0时，有

a∥bab

一般地，有

0a= 0, 0 = 0 ．

数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数、，向量数乘运算满足如下的法则：

1aa，1　　1aa　；

2　　aaa；教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

归纳

仔细

分析

讲解

关键

词语

归纳

理解

记忆

理解

记忆

学生

分析

引导

启发

学生

得出

结论

78 3　　aaa；

４　abab．【做一做】

请画出图形来，分别验证这些法则．

向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．

教

学

过

程

*巩固知识

典型例题

例6 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图7－16，AB＝a

，AD＝b，试用a, b表示向量AO、OD．

分析

因为AO出向量AC与BD.

图教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

强调

含义

说明

思考

求解

领会

思考

求解

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

81 11所以需要首先分别求AC,ODBD，22解

AC＝a＋b,BD＝b −a，

因为O分别为AC，BD的中点，所以

1111AOAC（a＋b）＝a＋b，

22221111OD＝BD＝（b −a）＝−a+b．

22221111例6中，a＋b和−a+b都叫做向量a，b的线性组2222合，或者说，AO、OD可以用向量a，b线性表示．

一般地，a＋b叫做a, b的一个线性组合（其中,均为系数）．如果l ＝a＋

b，则称l可以用a，b线性表示．

向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．

*运用知识

强化练习

1．

计算：（1）3（a −2 b）－2（2 a＋b）；

（2）3 a −2（3 a −4 b）＋3（a −b）．

启发

引导

思考

了解

动手

求解

可以

交给

学生

自我

发现

归纳

提问

12．设a, b不共线，求作有向线段OA，使OA＝（a＋b）．

巡视

2指导

质疑

*理论升华

整体建构

思考并回答下面的问题：

向量、向量的模、向量相等是如何定义的？

回答

及时

83

教

学

过

程

结论：

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

强调

了解学生知识掌握情况

85

当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，归纳这种量叫做向量（矢量） 向量的大小叫做向量的模．向量a,

AB的模依次记作a，AB．

a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a

= b

．

*归纳小结

强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思

目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

计算：

（1）AB＋BC＋CD；

（2）OB＋BC＋CA．

*继续探索

活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题7．1

A组（必做）；7．1

B组（选做）

(3)实践调查：试着用向量的观点解释生活中的一些问题

引导

提问

巡视

指导

说明

回忆

反思

动手

求解

记录

检验

学生

学习

效果

分层次要求

88

90