2.1.3 相等向量与共线向量教案及板书设计

《数乘向量》教学设计

西安铁一中

郑立彬

一、设计思想

新课程的数学课堂教学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，体验数学发现和创造的历程，力求对来源于生活中的一些数学思想进行深刻思考，作出准确判断；也要求教师改变角色，从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究者、开发者的转化。本节课尽量体现新课标要求，利用师生的实践探究，合作互动，培养学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能和兴趣。

二、教材分析

向量是是近代数学中重要的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数等的桥梁，也是连接数学与物理等学科的纽带，对学生以后进入大学，继续深造能奠定良好的基础。本节课向量的数乘运算是继向量的加、减运算之后的又一重要运算，它在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排一节课两课时，第一课时主要学习研究数乘运算及其几何意义、共线向量定理及其应用，第二课时主要研究平面向量基本定理及其应用。本节课起着承前起后的作用，学好有利于后续学习向量的数量积等。

三、教学目标

1、知识与技能：掌握实数与向量的积的定义，理解实数与向量的积的几何意义；掌握实数与向量的积得运算律；理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行。

2、过程与方法：通过本节教学，培养学生数形结合和分类讨论思想，同时渗透类比和化归思想方法。

3、情感、态度与价值观：通过对向量共线的充要条件的分析理解，培养学生严谨的学习习惯。激发学生探究数学、应用数学知识的潜能和兴趣。

教学重点

数乘向量的定义、运算律，向量共线的充要条件。

教学难点

向量共线定理的理解及应用。

四、教学用具准备

多媒体、实物投影仪、直尺、三角板等。

五、教学流程设计

向量平行的充要条件

情境设置运用

数乘向量的运算律

引入定义

六、教学过程设计

〖复习回顾 温故知新〗

〖创设情境 导入新课〗

运用与深化(例题解析、巩固练习、课后习题) 【导语】在物理学科中我们学习过如下的公式：Fma,Svt等，这些公式都是实数与向量的乘积的具体体现，并且从这些公式可以看出，实数可以与向量相乘，并且一个实数乘以一个向量的结果还是一个向量。因此，在数学中我们就从这些公式出发，抽象出一般的实数与向量的乘积的定义以及它们的一些运算律和性质。

学生作图：已知向量a，求向量aaa和aaa，并思考和向量与向量a的关系。



aa+a+aa-aa-a(-a)+(-a)+(-a)a-a【总结】（1）由于向量aaa是由三个向量a相加得到的，因此为了简单起见，我们将aaa记作：3a，因此3a是一个向量，又因为aaa的方向与向量a的方向相同，模长为向量a的模长的3倍，所以3a的方向与向量a的方向相同，模长为向量a的模长的3倍。即：向量3a与向量a同向且3a3a。

我们将aaa记作：3a，因此，3a也是一个向量，又因为aaa的方向与向量a的方向相反，模长为向量a的模长的3倍，所以3a的方向与向量a的方向相反，模长为向量a的模长的3倍。即：向量3a与向量a反向且3a3a。由上面的作图可知：向量aaa与向量aaa互为相反向量，因此aaaaaa，又由于aaa可记作：3a，所以aaa又可记作3a，从而：aaa3a，这样，3a3a。所以，3a的方向与向量a的方向相反，模长为向量a的模长的3倍。即：向量3a与向量a反向且3a3a3a。

【导语】从另一个角度也可以这样理解上述结论：既然3a是一个记号，因此，3a也可以看成是实数 （2）类似地，由于aaa是由三个向量a相加得到的，因此为了简单起见，3与向量a相乘得到；同理，3a也可以看成是实数3与向量a相乘得到。同时，上面这两种记法实际上是由多个相同的向量相加而且为了简化结果而引入。但是为了得到更一般的结论，我们规定任意实数与任意向量a之间也可以相乘，但此时不代表多个相同的向量相加，而是一种实数与向量的乘法运算了。下面我们就来学习实数与向量的积的相关知识。

〖合作交流 解读探究〗

1、实数与向量的积（也叫数乘向量）的定义：

一般地，设是任意一个实数，a是任意一个向量，则实数与向量a的乘积仍然是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：

（1）aa；

（2）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0。

【说明】（1）实数与向量a可以作乘积运算，其结果是一个向量；但不能作加减运算，即：a

是无意义的；

（2）a00或a0；

（3）a∥a；

（4）a的几何意义：

当0时，我们可以认为a是将向量a同向伸长（1）或缩

短（01）到原来的倍得到的；

当0时，我们可以认为a是将向量a反向伸长（1）或缩短（10）到原来的或反向（0）伸长（倍得到的；

综上：我们可以认为a是将向量a同向（0）1）或缩短（1）到原来的倍得到的。

（5）向量的线性运算：向量的加法、减法和实数与向量的乘积的综合运算，通常叫做向量的线性运算（或线性组合，也叫初等运算）。

对于任意向量a、b以及任意实数、1、2，恒有：1a2b1a2b。

小练习：学生口答。

2、实数与向量的积得运算律：

设,是任意两个实数；a,b是任意两个向量，则：

（1）结合律：aaa；

（2）第一分配律：aaa；

（3）第二分配律：abab；



例1.计算：

（1）（3）4a(2)3(ab)2(ab)a

(3)(2a3bc)(3a2bc）

(4)3(xa)2(x2a)4(xab)0,求x.师：点评与纠错

【说明】由以上运算律可知，实数与向量的积的运算法则与实数中的多项式运算法则一样，可以按多项式的运算法则进行运算；同时也提公因式、去括号、添括号、分解因式、解方程（组）等。

3、共线向量定理：

定理1：向量b与非零向量a共线当且仅当有且只有一个（有唯一一个）实数，使得ba。即：

若a0，则baba（R且唯一）

（根据学生情况选讲） 【证明】“”若ba，由实数与向量的积的定义可知：a“”若b存在性：

∥∥a,ba；

∥a，则先证存在性再证唯一性。

（1）当b0时，则b00a，此时0。

故存在一个实数0使得ba成立；

∥∥（2）当b0时，有以下两种情况：①当b令a且同向时，ba，此时，abaabaab，且a与a同向，又b与a同向，ba；

∥②当ba且反向向时，令ba，此时，abaabaab，

且a与a反向，又b与a反向，ba。

综上所述：若ba，则存在唯一的一个实数使得ba成立。

唯一性：（反证法）

假设还存在一个实数使得：ba，且，则：ba,ba，

aaa0,∥,0,a0，

这与a0矛盾，

是唯一一个使得等式成立的实数。

a时，存在唯一一个实数使得ba。

【说明】（1）定理中的限制条件“a0”不能去掉。

若a0，则：

当b0时，有无数多个，此时不满足唯一性；

当b0时，不存在，此时不满足存在性；综上所述：a0。

（2）若ba，则式子“ba”中的求法：

①根据b,a的方向确定的正负：同向为正，反向为负；

②确定的值。

综上所述：当b例2 21（1）已知e,e均为非零向量，设a4ee,bee2,说明b与a关系12121

510

a与b是非零不共线向量,OA2ab,OB3ab,OCa3b

（2）

求证:AB//BC例题3 〖当堂检测 随堂巩固〗练习：课件 1、2、3、4 〖总结反思 拓展延伸〗

（1）λ与a的积还是向量，λa与a是共线的；

（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；

（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。

〖课后检测 信息反馈〗

1课本P85 习题2.2A组 1、2 〖板书设计〗

课题

例1 1.定义：

2.运算律:

3.注意：

例2 ∥∥例3

小结：

【教学反思】