1.2.3 循环语句教学实录

高一数学必修三教案

课题

教学目标

教学过程

§1.3.2 秦九邵算法

课型

新课

（一）了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。（二）模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。

（三）通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。充分认识信息技术对数学的促进。

教学内容

阅读教材P37-P39思考以下问题：

(1)秦九邵算法的运算原理

(2)

秦九邵算法的程序框图和程序

备注

一、

自主学习

二、

质疑提问

1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学与现代信息技术的完美结合.2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算法，我们将对这个算法作些了解和探究.

三、

问题探究

知识探究：秦九邵算法

思考1 已知f(x)5x54x43x32x2x1,求f(5). 21325算法1：需要(5+4+3+2)=14次乘法，5次加法算法2：需要5次乘法，5次加法 秦九韶算法思考2

已知f(x)7x76x65x54x43x32x2x1,求f(3). 18556 思考3:利用后一种算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值，这个多项式应写成哪种形式？

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0

=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0=…

=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？ 第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v3=v2x+an-3.

…

第n步，计算vn=vn-1x+a0. 思考5:上述求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值的方法称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？ 思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么第k步的算式是什么？

vk=vk-1x+an-k (k=1，2，…，n) 例1 阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？

INPUT “x=”；a

n=0

y=0

WHILE n<5

y=y+(n+1)*a∧n

n=n+1

WEND

PRINT y

END

例2 求多项式f(x)12x3x24x35x4，在x=a时的值.

四、

课堂检测

1、如果执行右面的程序框图，那么输出的S

开始

i1,s1

ii1

s2(s1)

i5?否

是

输出s

结束

A．22

B．46

C．94

D．190

答案

C 2、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的

值是

（

）

（

）

A．4

B．5

C．6

D．7

【解析】对于k0,s1,k1，而对于k1,s3,k2，则

k2,s38,k3，后面是k3,s38211,k4，不

符合条件时输出的k4．

答案

A

3、阅读上（右）图的程序框图，则输出的S=

(

)

A

26

B 35

C 40

D 57 【解析】当i1时，T2,S2；当i2时，T5,S7；当i3

时，T8,S15；当i4时，T11,S26；当i5时，

T14,S40；当i6时，T17,S57，故选择C。

答案

Ｃ

4、程序框图上（右）（即算法流程图）如图所示，其输入结果是_______。

【解析】根据流程图可得a的取值依次为1、3、7、15、31、63……

答案

127

点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。直接法乘法运算的次数最多可到达(n1)n，加法最多n次。秦九韶2算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次。

5、已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的

值。

解析：把多项式变形为：f(x)= 2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7 =((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7 计算的过程可以列表表示为：

多项式x系数

运算所得的值

变形后x的"系数"

2

－5

10

－4

25

3

105

－6

540

7

2670

2

5

21

108

534

2677

最后的系数2677即为所求的值

算法过程：

v0=2 v1=2×5－5=5 v2=5×5－4=21

v3=21×5+3=108 v4=108×5－6=534 v5=534×5+7=2677

五、

小结评价

一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法.