2.5.2 向量在物理中的应用举例教学设计(第二课时)

2.5.2

向量在物理中的应用举例（教学设计）

一、教学分析

向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.

用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功即是力与所产生位移的数量积.

用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用. 二、教学目标

1．知识与技能：

通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤。

2．过程与方法：

明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.

3．情感态度与价值观：

通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯. 三、重点难点

教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算. 2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法. 教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题. 四、教学设想

(一)预习检查、总结疑惑

问题(1)：

已知A(1,0),直线l:y2x6,点R是直线l上的一点,若RA2AP,求点P的轨迹方程.

（二）应用示例

例1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?

活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边

1

形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.

图1 在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G|、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证.

用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 解:不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道

1|G|2|G|

cos2|F1|2cos2

通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,由0°到90°逐渐变大,cos的22值由大逐渐变小,因此|F1|由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.

点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现. 变式训练

七、课时安排：1课时

八、教学过程

(一)预习检查、总结疑惑

问题(1)：

已知A(1,0),直线l:y2x6,点R是直线l上的一点,若RA2AP,求点P的轨迹方程.

问题(2)：

例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？

(二）情景导入、展示目标

2

教师首先提问：(1) 例3中，⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？

⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？

一、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

解：不妨设|F1|=|F2|，

由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到

|F1|=

疑惑内容

|G|2cos2．

通过上面的式子我们发现，当由0~180逐渐变大时，由0~90逐渐变大，2cos2的值由大逐渐变小，因此，|F1|有小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．

师：请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：

⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？

⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？

例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度d500m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？

分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）

解：|v|=|v1||v2|96(km/h)，

所以， t22d0.5603.1(min)．

|v|96答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min．

本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的穿必须垂直于河岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系侯，本例就容易解决了。

变式训练：

3

九、板书设计

例1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？

探究1：

(1)为何值时，|F1|最小，最小值是多少? (2)| F1|能等于|G|吗?为什么?

探究2: 你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗? (1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；

(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；

(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；

(4)问题的答案：回到问题的初始状态，

解决相关物理现象. 变式训练：

4

v1v1

|v|=

104 ㎞/h

例4 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出

发到河对岸，已知船的速度

，水流速度 ，

问：（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？

（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？(精确到0.1min)

5

6

思考: 1. “行驶最短航程”是什么意思？

2. 怎样才能使航程最短？

思考2：如果船沿与上游河岸成60°方向行驶，那么船的实际速度v的大小是多少

7

d0.5t==椿60|v|96

三、课堂小结

向量解决物理问题的一般步骤: (1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；

(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；

(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；

(4)问题的答案：回到问题的初始状态，

解决相关物理现象. 四、课后作业

1、课本P113习题2.5—A组：1 3 4

2、思考：将“同样长的两绳挂一个物体”改为“非等长的两根绳挂一个物体”还研究同样的问题，请反映你的研究成果。

五、反思总结

结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题

代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。

本节主要研究了用向量知识解决物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决实际问题的步骤。

3.1(mi

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