复习参考题优秀教案

广东番禺中学数学组教学设计

马志强

3.2简单的三角恒等变换（第二课时）

●教学目标

(一)知识目标

1、进一步掌握三角恒等变换的方法,如何利用正弦、余弦、正切的和差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明.

2、复习巩固三角函数的性质

(二)能力目标

能熟练使用辅助角公式化简三角函数表达式

(三)考纲要求

能运用三角公式进行简单的恒等变换

●教学重点

1、把形如y=asin x+bcos x的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数

2、复习三角函数性质

●教学难点

利用正弦、余弦、正切的和差公式与二倍角公式把表达式转化成形如y=asin x+bcos x的函数，再转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数

●学情分析

高一15,16班是高一上学期分班后的普通班，学生对公式有一定的了解，但使用不熟练，学生计算能力较差，转化的方法不是很熟练！

●教学过程

一、知识点回顾

1.两角和与差公式、二倍角公式的逆用

(1)降幂公式

111

(1cos2x)sin2x(1cos2x)sinxcosx=

2

cos 2x=

2

sin 2x=

2

(2)辅助角公式

b

22tanabsin(x)aasin x+bcos x=

注:

2.课前练习

预习教材P140-142 并化简下列表达式 )316

（2）6

（1）sinxcoscosxsin=_____________ sinxcosx=______________6622sin(x)sin(x44

（3）

_____________________ （4）

=_____________________________

cos(x))2cos(x)

（5）3sinxcosx=________________________

（6）3sin2xcos2x=______________________ 66

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2sin(x2sin(2x)34（7）

=___________________________ （8）

=___________________________ 2cos(x)22sin(x)

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马志强

设计目的：温故而知新，甘泉由此来

二、典例分析,性质应用

例题1、求函数y=sin x+

cos x的周期、最值

解:y=sin x+

cos x=2(

sin x+

cos x)=2sin(x+

), 所求的周期T=

=2

, 最大值为2, 最小值为-2。

小结：把形如y=asin x+bcos x的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数, 从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的

设计目的：本题是课本的例题，主要目的是熟练辅助角公式的使用，

复习三角函数的周期和最值

三、交流展示

变式1、求函数y=2cos x (sin x+

cos x)的周期，对称轴.

解：由y= 2cos x (sin x+

cos x) = 2sin x cos x

x=

=

所求的周期T=

=

由y=sinx的对称轴为

令

, 原函数的对称轴为

变式2、求函数y=sin (x-

)+

cos x的对称中心.

解：由

= sin (x+

)

由y=sinx关于(k

对称，

令x+

解得x=

原函数得对称中心为

小结：求三角形性质题型的解题步骤

1、根据已知条件，利用正弦、余弦、与二倍角公式将函数转为形如y=asin x+bcos x的函数。

2、将形如y=asin x+bcos x的函数化归为y=Asin(ωx+φ)+B的形式

3、根据题目要求y=Asin(ωx+φ)+B的性质

设计目的：

通过已知条件的改编，强调目标转化，复习三角函数的对称性

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四、强化探究

变式3.已知向量m=(sin x,1),n=(

Acos x,cos 2x)(A>0),函数f(x)=m·n的最大值为6.

(1)求A; (2)将函数y=f(x)的图象向左平移 个单位长度,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的

倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在[0, ]上的值域.

解:(1)f(x)=m·n=

Acos xsin x+

cos 2x=

Asin 2x+

cos 2x=Asin(2x+

), 则A=6.

(2)函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数y=6sin[2(x+)+]=6sin(2x+)的图象,再将所得图象各点的

横坐标缩短为原来的

倍,纵坐标不变,得到函数g(x)=6sin(4x+

).

当x∈[0, ]时,4x+

∈[

],sin(4x+

)∈[-

,1],g(x)∈[-3,6].

故函数g(x)在[0,]上的值域为[-3,6].

小结：以平面数量积的载体是高考的一种重要形式

设计目的：熟悉高考的考察方式，复习三角函数的图像变换，在定区间上的最值

五、反思小结,观点提炼

1.本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asin x+bcos x的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)+B的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现了生活的数学和“活”的数学.

2.在解三角问题时,要确立模型意识,根据具体问题运用函数与整体代换的思想,构造相关的函数或方程来解题.

3.三角函数的化简与求值的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择.认真分析所求式子的整体结构、分析各个三角函数及角的相互关系式是恰当寻找解题思路起点的关键所在.

六、课后作业

1、如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为

的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积. 解:在Rt△OBC中,OB=cos α,BC=sin α,在Rt△OAD中, =tan 60°=

, 所以OA=DA=BC=sin α.所以AB=OB-OA=cos α-sin α.

设矩形ABCD的面积为S,则S=AB·BC=(cos α-

sin α)sin α=sin αcos α-

sin 2α

=

sin 2α+

cos 2α-

由0<α<

,得

<2α+

sin 2α+

cos 2α)-

=

sin(2α+

)-

.

,所以当2α+

,即α=

时,S最大=

.

因此,当α=

时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为

.

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2、已知函数f(x)=

sin 2xsin φ+cos2xcos φ-

sin(

+φ)(0<φ<π),其图象过点(

).

(1)求φ的值; (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的

倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x) 在[0,

]上的最大值和最小值.

1.解:(1)因为f(x)=sin 2xsin φ+cos2xcos φ-sin(+φ)(0<φ<

),

所以f(x)=

sin 2xsin φ+

cos φ-

cos φ=

sin 2xsin φ+

cos 2xcos φ

=

(sin 2xsin φ+cos 2xcos φ)=

cos(2x-φ),又函数图象过点(

), 所以

cos(2×

-φ),即cos(

-φ)=1,又0<φ<

所以φ=

.

(2)由(1)知f(x)=cos(2x-),将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的

图象,可知g(x)=f(2x)=

cos(4x-

),因为x∈[0,

],所以4x∈[0,

], 因此4x-

∈[-

],故-

≤cos(4x-

)≤1.

所以y=g(x)在[0,]上的最大值和最小值分别为和-.

3、已知函数f(x)=cos 4x-2sin xcos x-sin 4x.

(1)求f(x)的最小正周期; (2)若x∈[0,

],求f(x)的最大、最小值.

解:(1)f(x)=cos 4x-2sin xcos x-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin 2x=cos 2x-sin 2x=

cos(2x+

),所以,f(x)的最小正周期T==

.

(2)因为x∈[0,],所以2x+∈[

].当

2x+

时,cos(2x+)取得最大值,

当2x+=

时,cos(2x+)取得最小值-1. 所以,f(x)在[0,

]上的最大值为1,最小值为-

.

设计目的：巩固和强化本节课的内容

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