小结教案推荐

平面向量小结

一、复习目标：

1．进一步熟练有关向量的运算和证明；能运用解三角形的知识解决有关应用问题，

2．渗透数学建模的思想，切实培养分析和解决问题的能力。

三、课前预习：

1．正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且OP(0,3)，OS(4,0)），则RM=

727

(C)

（7，4）

(D)（,22．下列条件中，ABC是锐角三角形的是



（

A

）

(A)（,）

7212(B)（,1）

27）

2

（

B

）

(A)sinAcosA1

5(B)tanAtanBtanC0

(D)b3,c33,B30

93,7),B(2,6)，对角线的交点为M(3,)，则22(C)ABBC0

3．已知一个平行四边形ABCD的顶点A(它的另外两个顶点的坐标为C(21,10),D(4,3)。

24．把函数ycosx图象沿b(2k2,1)(kZ)平移，得到函数ysinx1的图象

05．在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60，塔基的俯角为45，那么这座塔吊的高是20(13)m

四、例题分析：

例1．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且ac10,C2A,cosA

求：（1）3

4c的值；

（2）b的值。

a3737,∴sinA，又C2A，sinC

448

解：（1）∵A是ABC的内角，cosA- 1 -

小结：

csinC3

asinA2c3222（2）由（1）ac10,

得a4,c6，∵abc2bccosA

a232∴16b3612b，解得b5或b4，当b4时，ab，不合题意

4∴b5

由正弦定理例2．已知向量a(2,sin),b(cos,1)，其中(

,)。

22（1）若ab，求的值；

（2）令cab，求|c|的最大值。

解：（1）∵ab，∴ab0，即：2cossin0,∵(∴cos0，∴tan2,arctan2

（2）c(2cos,sin1)，

则|c|,)

22(2cos)2(sin1)262sin4cos625sin()

其中tan2，∵(,)，∴当sin()0时，|c|取最大值6

22例3．已知向量u(x,y)与向量v(x,2yx)的对应关系记作vf(u)

a求证：（1）对于任意向量、b及常数m,n恒有f(manb)mf(a)nf(b)

（2）若a(1,1),b(1,0)

用坐标表示f(a)和f(b)

（3）求使f(c)(p,q)，

(p,q为常数)的向量c的坐标。

（1）证：设a(x1,y1)

b(x2,y2)

则manb(mx1nx2,my1ny2)

∴f(manb)[my1ny2,2(my1ny2)(mx1nx2)]

而

- 2 -

mf(a)nf(b)m(y1,2y1x1)n(y2,2y2x2)(my12my1mx1)(ny22ny2nx2)[(my1ny2))2(my1mx1)(2ny2nx2][my1ny2,2(my1ny2)(mx1nx2)]∴f(manb)mf(a)nf(b)

(2)f(a)(1,12)(1,1)，f(b)(0,01)(1,1)

ypx2pq(3)设c(x,y)

则f(c)(y,2yx)

令

解得

2yxqyp∴c(2pq,p)

小结：

本题出现了“向量函数”

vf(u)，这是我们所陌生的，故做题之前，先克服因陌生

而产生的情意，弄清f(u)的含义，定义f(u)时使用了向量的坐标，故应先把a、b用坐标表示出来，按定义代入，看左、右所得向量的坐标表示是否相同。

例4．如图所示，某城市有一条公路从正西方向AO通过中心O后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在AO上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB距离为10km，问把A，B分别设在公路上离中心O多远处，才能使|AB|最短，并求出最短距离。

解：在ABC中，设OAa,OBb，易知AOB135

LBDAOL0

则|AB|2a2b22abcos1350a2b22ab

又O到AB距离OD为10km，设OAB，则

OBA450，∴a1010,b

0sinsin(45)

∴ab1010100

sinsin(450)sinsin(450)

- 3 -

sin(10022cossin)22100

22sin2(1cos2)44

4004000，当22.5,ab时，等号成立

02cos(245)222

而|AB|2a2b22ab2ab2ab，当ab时，等号成立

∴|AB|2

10400(22)102(22)400(21)2，当且仅当ab0sin22.522时，|AB|20(12)km为最短。

小结：本题以实际问题为背景，抽象出三角形问题，利用正，余弦定理、三角公式恒等变形、重要不等式等多种手段，予以解决，具有较强的综合性。

五、课后作业：

班级

学号

姓名

1．已知|a||b|1,a与b的夹角为90，c2a3b,dka4b，c与d垂直，k的值为

（

B

）

(A)6

(B)6

(C)3

(D)3

2．已知ABC中，ABa,ACb,ab0，S15，|a|3,|b|5，则a与b的夹角4是

（

C

）

(A)30

(B)1500

(C)1500

(D)30或1500

3．在直角坐标系中，O为原点，点M在单位圆上运动，N(2,1)满足OP2OMON的点P的轨迹方程为

（

B

）

(A)xy10

(C)x2y0

(B)(x2)2(y1)24

(D)x2y21

3．已知O为ABC所在平面内一点，且满足(OBOC)(OBOC2OA)0，则

ABC的形状为

等腰三角形

．

- 4 -

sin2Csin2BsinAsinB

4．已知ABC中，若C120，则2sinA05．已知四点A(3,12)，B(3,4)，C(5,4)，D(5,8)，求AC与BD的交点P

的坐标，并求直线AC分BD所得的比入及P分BD所得的比。(1137,,P(1))

3326．若a(cos,sin),b(cos,sin),，且|kab|3|akb|

（1）用k表示数量积ab；（2）求ab的最小值，并求出此时a与b的夹角。

7．在ABC中，角A,B,C所对的边a,b,c，bacosC，且ABC的最大边长为12，最小角的正弦为1，（1）判断ABC的形状；（2）求ABC的面积。

28．已知OP(3,4)，OP绕原点O分别旋转90,1200到OQ、OR的位置，

求点Q,R的坐标。

9．某人在静水中游泳，速度为43km/h，（1）如果他径直游向河对岸，水流速度为4km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

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