2.1.2 向量的几何表示优秀教学设计内容

高一数学必修4 向量的概念及表示

一．教学目标：

（一）知识目标：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. （二）能力目标：通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. （三）情感目标：通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 二．教学重点、难点；

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

难点突破：借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 三．教学方法与教学手段：

教学方法：启发式教学

教学手段：多媒体教学

四．教学过程，

（一）情景设置

一个质量m=60kg的物体放在光滑的水平面上，在与水平方向成α=60 °角斜向上的拉力F=10N的作用下向左运动了5m ，求拉力所做的功。

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物理中的标量和矢量对应数学中的数量和向量。

问：再举出一些向量和数量

数量：距离、质量、身高、时间、密度、以及体检中的视力、

肺活量等

向量：位移、力、速度、加速度等

（二）新课学习

1．向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

2．向量的表示方法：

（1）几何表示法：用有向线段表示向量，长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

（2）用字母等表示；

B（终点）

a

A(起点) ①用有向线段字母表示：AB（A为起点、B为终点）；

②用小写字母表示：a、b、c；（印刷用a，书写用a）

注：小写字母表示平面向量时，字母上的箭头不能省略。

3．向量的有关概念：

（1）大小：

①向量的模：向量AB的大小称为向量的长度（或称为模），记作|AB|.

②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0.

思考：0与0的含义与书写区别. ③单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位O 1 x y 亿库教育网 http://www.eku.cc

向量. 思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？

（2）方向：

平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。记作a//b。

规定：0与任一向量平行. 思考：若a//b，b//c，则a//c？

（3）大小与方向：

①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作a=b。

如：平行四边形ABCD中，AB=DC. 向量是否相等只与大小和方向有关，与起点无关. ②相反向量：与a向量长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a。

规定：-0=0。0的相反向量仍是0。

对于任一向量a有-（-a）=a。a与-a互为相反向量

。

相等向量和相反向量都是平行向量。

概念辨析：向量平行与直线平行

两条直线平行不包括重合的情况，而向量的平行包括两个向量在同一条直线上（同向或反向）的情形

这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。

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③共线向量：平行向量就是共线向量。

规定：0与任一向量共线. （三）理解和巩固：

例1

已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：

（1）试找出与FE共线的向量；

（2）确定与FE相等的向量；

（3）OA与BC相等吗？

解：（1）与FE共线的向量有BC和OA；

引申：除FE外，图中所给7点的连线中，与FE共线的向量有几个？

9个

（2）BC与FE长度相等且方向相同，故BC=FE；

引申：除FE外，图中所给7点的连线中，与FE相等的向量有几个？

3个

（3）虽然OA//BC，且|OA|=|BC|，但它们方向相反，故这两个向量并不相等。

引申：除OA外，图中所给7点的连线中，与OA互为相反向量的向量有几个？

4个

例2

在图中的4×5方格纸中有一个向量AB，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个（ABB F E D O C A B 除外）？

解：当向量CD的起点C是图中所圈的格点时，

亿库教育网 http://www.eku.cc A

C

D

可以作出与AB相等的向量。

这样的格点共有8个，除去点A外，还有7个，所以共有7个向量与AB相等。与AB长度相等的共线向量（AB除外）共有7×2+1=15（个）

例3

对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？

（1）把平行于直线L的所有单位向量的起点平移到L上的点P；

（2）把所有单位向量的起点平行移动到同一点P；

（3）把平行于直线L的一切向量的起点平移到L上的点P。

解:（1）是直线L上与点P的距离为1的两个点；

（2）是以P点为圆心，以1个单位长为半径的圆；

（3）直线L B E

1．写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长A

为1）。

2．判断下列命题是否正确，若不正确，简述理由.

课堂练习：

①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

②模相等的两个平行向量是相等的向量；

③若a和b都是单位向量，则a=b；

④两个相等向量的模相等；

C

D

F ⑤向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

⑥任一向量与它的相反向量不相等；

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⑦向量a和b不共线，则a和b都是非零向量。

解：①不正确。向量相等只要长度相等、方向相同，与起点和终点的位置无关。

②不正确。也可以是相反向量。

③不正确。方向不一定相同。

④正确。

⑤共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上. ⑥不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的

⑦正确。假若a和b不都是非零向量，即a和b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a和b共线，不符合已知条件，所以a和b都是非零向量. 动动手：

某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点. （1）作出向量AB（2）求DA的模. 、BC、CD；解：（1）略；（2）DA=450m. 合作探究：

以正方形的四个顶点为端点的向量中，可得到多少种不同的模？有多少种不同的向量？

解：2种不同的模，8种不同的向量。

（四）小结

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1．向量的概念；

2．向量的表示：代数表示、几何表示；

3．研究向量的两个方面：

大小：零向量、单位向量；

方向：共线向量、平行向量；

大小与方向：相等向量、相反向量

4．数学思想方法：数形结合、分类讨论（注意对0的讨论）。

四、课后作业：

书本59页习题2.1第1、3、4题

五、板书设计

多媒体投影

六、课堂反思与作业反馈

向量的概念和表示

1.向量的概念：

2.向量的表示方法：

3.向量的有关概念：

大小：向量的模，零向量，单位向量

方向：平行向量，共线向量

大小与方向：相等向量，相反向量

画图

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教学设计的说明：

向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．既有其深刻的数学背景，也有其现实的物理背景。

本节课是一节概念教学课。依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，因此在向量概念的引入过程中，从物理的角度创设问题情景，使学生明白研究向量不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。最后又通过物理问题如何用数学的方式加以解决，为学生理解向量的数量积以及向量在实际问题中的应用埋下伏笔。

本节课所涉及到的概念都是让学生去探索而得到的，为了让学生很好的完成这个探究活动，始终引导学生抓住大小与方向两个方面，让学生去发现结论，再由学生或师生共同完善概念。使学生感受知识自然形成的过程，同时也培养了学生的创新意识。

在应用这个环节中，主要让学生消化本节课所学的概念。除了教材中提供的两个例题，加了一个例题弥补不足，通过观察、问答等方式掌握学生的学习状况。配合教材中的两个练习，还加了一个学生自己动手的练习，巩固向量的概念，通过练习对学生的掌握情况做出适当的评价。

在小结这个环节中，主要是让学生从知识的发生、发展去回顾本节课的内容以及注意点，并对本节课所涉及到的思想方法加以总结，达到提高认识，形成体系的目的。

以上就是我对本节课设计的简单说明。

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