2.1.2 系统抽样优质课教案设计

2.1.2

系统抽样

学习目标

1.理解系统抽样的必要性和适用情境；2.掌握系统抽样的概念和步骤；3.了解系统抽样的公平性.

知识点一

系统抽样的概念

思考

当总体中的个体数较多时，为什么不宜用简单随机抽样？

答案

因为个体较多，采用简单随机抽样如制作号签等工作会耗费大量的人力、物力和时间，而且不容易做到“搅拌均匀”，从而使样本的代表性不强.此时就需要用系统抽样. 要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽n样.用这种方法抽样，每个个体被抽到的机会是. N知识点二

系统抽样的步骤

一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，步骤为：

(1)先将总体的N个个体编号.有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；

NNN(2)确定分段间隔k，对编号进行分段.当(n是样本容量)是整数时，取k＝；当不是整数nnn时，先从总体中随机剔除几个个体，再重新编号，

然后分段；

(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；

(4)按照一定的规则抽取样本.通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本.

类型一

系统抽样的概念

例1

下列抽样中不是系统抽样的是(

) A.从标有1～15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i，以后为i＋5，i＋10(超过15则从1再数起)号入样

B.工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一

件产品检验

C.某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止

D.电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈

答案

C 解析

C不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的比例入样. 反思与感悟

解决该类问题的关键是掌握系统抽样的特点及适用范围. 跟踪训练1

为调查公民对中学开设足球选修课的意见，从全体公民中抽取身份证后两位是18的进行调查，这种抽样得到的样本有代表性吗？

解

因为身份证的倒数第二位代表性别，奇数为男性，偶数为女性.所以抽取的个体全部是男性，因此具有明显的偏向，不具有代表性. 类型二

系统抽样的实施

例2

某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程. 解

按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5＝59，我们把295名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生.采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为k(1≤k≤5)，那么抽取的学生编号为k＋5l(l＝0,1,2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当k＝3时的样本编号为3,8,13，…，288,293. 反思与感悟

解决系统抽样问题的两个关键步骤：

(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本. (2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了. 跟踪训练2

为了了解参加某种知识竞赛的1 000名学生的成绩，从中抽取一个容量为50的样本，那么采用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程. 解

适宜选用系统抽样，抽样过程如下：

(1)随机地将这1 000名学生编号为1,2,3，…，1000. (2)将总体按编号顺序均分成50个部分，每部分包括20个个体. (3)在第一部分的个体编号1,2,3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码l. (4)以l为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：l，l＋20，l＋40，…

，l＋980. 类型三

不能整除的分组方法

例3

在跟踪训练2中，如果总体是1 002，其余条件不变，又该怎么抽样？

解

(1)将每个学生编一个号，由1至1 002. (2)利用随机数法剔除2个号. (3)将剩余的1 000名学生重新编号1至1 000. (4) 按编号顺序均分成50个部分，每部分包括20个个体. (5)在第一部分的个体编号1,2,3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码l. (6)以l为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：l，l＋20，l＋40，…，l＋980. 反思与感悟

当总体中的个体数不能被样本容量整除时，需要在总体中剔除一些个体.由于剔除方法采用简单随机抽样，所以即使是被剔除的个体，在整个抽样过程中被抽到的机会和其他个体是一样的. 跟踪训练3

某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施. 解

(1)将每个工人编一个号，由0001至1003. (2)利用随机数法找到3个号将这3名工人剔除. (3)将剩余的1 000名工人重新编号0001至1000. 1 000(4)分段，取间隔k＝＝100，将总体均分为10组，每组100个工人. 10(5)从第一段即0001号到0100号中随机抽取一个号l. (6)按编号将l,100＋l,200＋l，…，900＋l，共10个号选出. 这10个号所对应的工人组成样本.

1.系统抽样适用的总体应(

) A.容量较小

C.个体数较多但不均衡

答案

B 2.某商场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张如15号，然后按顺序往后将65号，115号，165号，……发票上的销售金额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法是(

) A.抽签法

C.系统抽样法

答案

C 解析

本题所述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组中抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n为自然数)号，符合系统抽样的特点. 3.为了解1 200名学生对学校食堂饭菜的意见，打算从中抽取一个样本容量为40的样本，考B.随机数法

D.其他的抽样法

B.容量较大

D.任何总体

虑采用系统抽样，则分段间隔k为(

) A.10

C.30

答案

C 1 200解析

分段间隔k＝＝30. 404.为了了解参加一次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是(

) A.2

B.3

C.4

D.5 答案

A 解析

由1 252＝50×25＋2知，应随机剔除2个个体. 5.从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是(

) A.5,10,15,20,25

C.1,2,3,4,5

答案

B 解析

用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为k，k＋d，k＋2d，k＋3d，k＋4d，其中d＝50/5＝10，k是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项B满足要求，故选B.

1.体会系统抽样的概念，其中关键因素是“分组”，否则不是系统抽样.系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，因为这时采用简单随机抽样不方便. 2.解决系统抽样问题的关键步骤为：

NN用系统抽样法抽取样本，当不为整数时，取k＝n，即先从总体中用简单随机抽样法剔除nN－nk个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性. 3.系统抽样的优点是简单易操作，当总体个数较多的时候也能保证样本的代表性；缺点是对存在明显周期性的总体，选出来的个体，往往不具备代表性.从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想. B.3,13,23,33,43 D.2,4,6,16,32 B.20 D.40

一、选择题

1.某会议室有50排座位，每排有30个座位.一次报告会坐满了听众.会后留下座号为15的50位听众进行座谈.这是运用了(

)

A.抽签法

C.系统抽样

答案

C B.随机数法

D.有放回抽样

解析

从第1排到第50排，每取一个人的间隔人数是相同的，符合系统抽样的定义. 2.要从160名学生中抽取容量为20的样本，用系统抽样法将160名学生从1～160编号.按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是(

) A.7

B.5

C.4

D.3 答案

B 解析

由系统抽样知，第一组确定的号码是125－15×8＝5. 3.下列问题中，最适合用系统抽样法抽样的是(

) A.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样

B.一个城市有210家超市，其中大型超市20家，中型超市40家，小型超市150家，为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本

C.从参加竞赛的1 500名初中生中随机抽取100人分析试题作答情况

D.从参加期末考试的2 400名高中生中随机抽取10人了解某些情况

答案

C 解析

A总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B总体中的个体有明显的层次，不适宜用系统抽样法；C总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D总体容量较大，样本容量较小，可用随机数法.故选C. 4.一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1小组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同.若m＝6，则在第7组中抽取的号码是(

) A.63

B.70

C.50

D.80 答案

A 解析

∵m＝6，k＝7，m＋k＝13，

∴在第7小组中抽取的号码是63. 5.有20个同学，编号为1～20，现在从中抽取4人的作文卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号可能为(

) A.5,10,15,20

C.2,4,6,8

答案

A 解析

将20分成4个组，每组5个号，间隔等距离为5. B.2,6,10,14 D.5,8,11,14

6.将参加夏令营的600名学生编号为1,2，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为3.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为(

) A.26,16,8

C.25,16,9

答案

B 解析

由题意知，间隔为600＝12，故抽到的号码为12k＋3(k＝0,1，…，49)，列出不等式50B.25,17,8 D.24,17,9 可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人. 7.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(

) A.11

B.12

C.13

D.14 答案

B 720－480840解析

由于＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为4220240＝＝12. 208.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为(

) A.7

B.9

C.10

D.15 答案

C 960解析

由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，32939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，所以做问卷B的有10人. 二、填空题

9.为了了解某地参加计算机水平测试的5 008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为________. 答案

25 解析

5 008除以200的整数商为25. 10.某学校有30个班级，每班50名学生，上级要到学校进行体育达标验收.需要抽取10%的学生进行体育项目的测验.如果按学号用系统抽样法抽取，则只需要在第一个班前________名中随机抽取一名，其他人选就随之确定. 答案

10 解析

该校共有1 500名学生，需抽取容量为1 500×10%＝150的样本.抽样的实施步骤：

可将每个班的学生按学号分成5段，每段10名学生.用简单随机抽样的方法在1～10中抽取一个起始号码l，则每个班的l,10＋l,20＋l,30＋l,40＋l(如果l＝6，即6,16,26,36,46)号学生入样，即组成一个容量为150的样本. 11.采用系统抽样的方法，从个体数为1 003的总体中抽取一个容量为50的样本，则在抽样过程中，被剔除的个体数为________，抽样间隔为________. 答案

3

20 解析

因为1 003＝50×20＋3，所以应剔除的个体数为3，间隔为20. 12.采用系统抽样从含有8 000个个体的总体(编号为0000，0001，…，7999)中抽取一个容量为50的样本，则最后一段的编号为____________，已知最后一个入样编号是7894，则开头5个入样编号是__________________. 答案

7840～7999

0054,0214,0374,0534,0694 解析

因为8 000÷50＝160，所以最后一段的编号为最后160个编号. 从7840到7999共160个编号，从7840到7894共55个数，所以从0000起第55个编号应为0054，然后逐个加上160得，0214,0374,0534,0694. 三、解答题

13.某工厂有工人1 021人，其中高级工程师20人，现抽取普通工人40人，高级工程师4人组成代表队去参加某项活动，应怎样抽样？

解

(1)将1 001名普通工人用随机方式编号. (2)从总体中剔除1人(剔除方法可用随机数法)，将剩下的1 000名普通工人重新编号(分别为1 0000001,0002，…，1000)，并平均分成40段，其中每一段包含＝25个个体. 40(3)在第一段0001,0002，…，0025这25个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如0003)作为起始号码. (4)将编号为0003,0028,0053，…，0978的个体抽出. (5)将20名高级工程师用随机方式编号为1,2，…，20. (6)将这20个号码分别写在大小、形状相同的小纸条上，揉成小球，制成号签. (7)将得到的号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀. (8)从容器中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号. (9)从总体中将与所抽号签的编号相一致的个体取出. 以上得到的个体便是代表队成员.