3.1.2 概率的意义教学实录及点评

3.1.2

概率的意义

1.理解·教材新知

[课标解读] 1.通过实例进一步理解概率的意义．

(重点)

2.能用概率的意义解释生活中的事例．(难点)

3.了解概率在其他领域中的统计规律．

知识1

对概率的正确理解

【问题导思】

有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次掷一枚质地均匀的硬币一定是一次正面朝上，一次反面朝上．你认为这种想法正确吗？

【提示】

这种想法是错误的．概率是大量试验得出的一种规律性结果，对具体的几次试验不一定体现出这种规律．

知识2

游戏的公平性

【问题导思】

甲、乙两人做游戏，从装有3个白球1个黑球的袋子中任取1球，如果是白球，甲胜；否则乙胜．试问这个游戏对两个人来说公平吗？

【提示】

不公平．甲获胜机会大．

知识3

天气预报的概率解释

【问题导思】

“昨天没有下雨，而天气预报说昨天降水的概率为90%.这说明预报是错误的”这种说法科学吗？

【提示】

不科学．

知识4

决策中的概率思想

如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一. [教学分析] 1．对概率的正确理解

随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性．

2．游戏的公平性

(1)裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球的概率均

是等可能的，所以这个规则是公平的．

(2)在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则．

3．决策中的概率思想

如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的

可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统

计中重要的统计思想方法之一．

4．天气预报的概率解释

天气预报的“降水”是一个随机事件，“降水概率为90%”指明了“降水”这个随机事件发生

的概率为90%，在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”

并不能说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的．

5．孟德尔与遗传机理中的统计规律

孟德尔从豌豆试验中洞察到的遗传规律是一种统计规律．

[化解疑难] 概率的正确认识

(1)随机事件的发生都有随机性．例如，尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反面的概率

都为0.5，但连续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面朝上、反面朝上各一次．可以有三

种情况：“两次正面朝上”“两次反面朝上”“一次正面朝上，一次反面朝上”．

(2)随机事件的某一结果在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中又含有规律性．认

识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地把握某随机事件发生的可能性．例如，

做连续抛掷两枚硬币的试验1 000次，可以预见：“两个正面朝上”大约出现250次，“两个

反面朝上”大约出现250次，“正面朝上、反面朝上各一个”大约出现500次. 2.突破·常考题型

题型1

[例1]

(1)下列说法正确的是(

) A．由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女

B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖

C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大

D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1 (2)某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明(

) A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件

B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件

C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品

概率含义的理解

D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99% 【解析】(1)一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；

中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确；D正确．

(2)合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率．

【答案】(1)D

(2)D [类题通法] 从三个方面理解概率的意义

(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．

(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．

(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．

[活学活用] 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是(

) 1A．

999999C．

1 0001

B．

1 0001

D．

2【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结果：正面朝上，反面朝1上，每种结果等可能出现，故所求概率为. 2【答案】D 题型二

游戏的公平性

[例2]

某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？

解

该方案是公平的，理由如下：

各种情况如下表所示：

和

1

2

3

由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇6161数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝＝，(2)班代表获胜的概率P2＝＝，即122122P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．

[类题通法] 游戏公平性的标准及判断方法

(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．

(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．

[活学活用] 玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？

解

两枚硬币落地共有四种结果：

正，正；正，反；反，正；反，反．

1由此可见，她们两人得到门票的概率都是，所以公平．

2题型三

概率的应用

4

5

6

7

5

6

7

8

6

7

8

9

7 8 9 10 [例3]

(1)同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况(

) A．这100个铜板两面是一样的

B．这100个铜板两面是不同的

C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的

D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的

【解析】落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面

是一样的可能性较大．

【答案】A (2)为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．

解

设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的．从保护区中200任捕一只，设事件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝. n第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，

20由概率的统计定义可知P(A)＝，

150∴20020＝，解得n＝1 500，

n150∴该自然保护区中约有天鹅1 500只．

[类题通法] 1．极大似然法的应用

在“风险与决策”中经常会遇到统计中的极大似然法：如果我们面临的是从多个可以选择的答案中挑选正确答案的决策问题，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法．

2．概率的实际应用

由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生．从而对某些事情作出决策．当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率．

[活学活用] 聊城市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而聊城市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理？(

) A．甲公司

C．甲、乙公司均可

B．乙公司

D．以上都对

130【解析】由题意得肇事车是甲公司的概率为，是乙公司的概率为，由极大似然法可3131知认定肇事车为乙公司的车辆较为合理．

【答案】B

3.跨越·高分障碍

易错易误辨析

对概率的意义理解有误

[典例]

为了了解我国机动车的所有人缴纳车船使用税情况，调查部门在某大型停车场对机动车的所有人进行了如下的随机调查：向被调查者提出三个问题：(1)你的车牌号码的最后一位是奇数吗？(2)你缴纳了本年度的车船使用税吗？(3)你的家庭电话号码的倒数第二位是偶数吗？调查人员给被调查者准备了一枚骰子，让被调查者背对调查人员掷一次骰子．如果出现一点或二点则回答第一个问题；如果出现三点或四点则回答第二个问题；如果出现五点或六点则回答第三个问题(被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“否”，所以都如实做了回答)．结果被调查的3 000人中1 200人回答了“否”，由此估计在这3 000人中没有缴纳车船使用税的人数大约是(

) A．600

C．400

B．200

D．300 1【解析】因为骰子出现一点或二点、三点或四点、五点或六点的概率相等，都等于，3所以应有1 000人回答了第一个问题．因为车牌号码的最后一位数是奇数还是偶数的概率也是相等的，所以在这1 000人中应有500人的车牌号码是偶然，这500人都回答了“否”；同理也有1 000人回答了第三个问题，在这1 000人中有500人回答了“否”．因此在回答“否”的1 200人中约有200人是对第二个问题回答了“否”，根据用样本特征估计总体特征知识可知在这3 000人中约有600人没有缴纳车船使用税．故选A. 【答案】A [易错防范] 1．本题易误认为回答这三个问题的人数是相同的，因此有400人回答了第(2)个问题，而回答“是”与“否”的概率是一样的，因此误选B. 2．解决此类问题的实质是在充分掌握随机事件的概率的基础上，得到一个估计量，为生活中的一些决策做一定的理论参考．

[成功破障] 下列命题中的真命题有(

) 5①做9次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有5次出现正面，因此，出现正面的概率是；

9②盒子中装有大小均匀的3个红球，3个黑球，2个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；

③从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取得的数小于0和不小于0的可能性相

同；

④分别从2名男生，3名女生中各选一名作为代表，那么每名学生被选中的可能性相同．

A．0个

C．2个

B．1个

D．3个

1【解析】命题①中，抛掷一枚硬币出现正面的概率是；命题②中摸到白球的概率要小于2摸到红球与黑球的概率；命题③中取得小于0的概率大于取得不小于0的概率；命题④中男11生被抽到的概率为，而每名女生被抽到的概率为. 23【答案】A 4.应用·落实体验

[随堂即时演练] 1．“某彩票的中奖概率为1”意味着(

) 100A．买100张彩票就一定能中奖

B．买100张彩票能中一次奖

C．买100张彩票一次奖也不中

1D．购买彩票中奖的可能性为

100【解析】概率是描述事件发生的可能性大小．

【答案】D

2．在天气预报中，有“降水概率预报”．例如，预报“明天降水概率为85%”，这是指(

) A．明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水

B．明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水

C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水

D．明天该地区降水的可能性为85% 【解析】概率的本质含义是事件发生的可能性大小，因此D正确．

【答案】D

3．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球1个黑球，乙箱中有1个白球99个黑球．随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，这球是从________箱中取出的．

99【解析】甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是，1001乙箱中有1个白球99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此可知，这一白100球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多，由极大似然法知，既然在一次抽样中

抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中取出的，所以我们可以认为该球是从甲箱中取出的．

【答案】甲

4．先后抛掷两枚均匀的一分、贰分的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大________．

(1)至少一枚硬币正面向上；

(2)只有一枚硬币正面向上；

(3)两枚硬币都是正面向上；

(4)两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上．

【解析】抛掷两枚硬币，其结果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四种情况．至少有一枚硬币正面向上包括三种情况，其概率最大．

【答案】(1) 5．为了估计水库中鱼的尾数，使用以下的方法：先从水库中捕出2 000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾，查看其中有记号的鱼，有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．

解

设水库中鱼的尾数是n(n∈N*)，每尾鱼被捕到的可能性相等，给2 000尾鱼做上记2 000号后，从水库中任捕一尾鱼，带记号的概率为.又从水库中捕500尾鱼，有40尾带记号，n402 00040于是带记号的频率为.则有≈，解得n≈25 000.所以估计水库中有25 000尾鱼．

500n500