探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学设计方案

三角函数的周期性

竺吴辉（北仑中学）

一、适用对象

主要适用于高一年级的学生，选用教材为人教A版必修4. 另外有三角函数基础的初中生也可使用本微课作为进入高中学习的自学材料. 二、学习任务

1．学前指南

学习本节微课前，要先学习函数的相关概念以及三角函数的图像，要求对两者概念有基本的了解. 2．学习目标分析

（1）内容分析：函数的周期性问题是人教A版必修4的《正弦函数、余弦函数的性质》这节教学课中的一个重要片段，也是学生学习三角函数性质的一个重要难点，这是学生为更深一步理解函数周期性的奠定起到了非常重要的重要，这是因为三角函数是刻画周期函数的一个重要数学模型.

（2）课程目标：

①知识与技能：了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期. ②过程与方法：从自然界中周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实模型）的分析、概况与抽象，建立周期函数的概念. ③情感、态度及价值观：使学生对周期现象有一个初步认识，感受生活中处处有数学，数学来源于生活；体会从感性到理性的思维过程；掌握未知转化为已知的数学方法.

（3）教学重点、难点：

重点：周期函数定义的理解，正弦函数、余弦函数的周期性.

难点：周期函数概念的理解，最小正周期的意义及应用. 三、过程实录

1. 课题引入（以十二生肖的循环往复现象，引出周期性的概念.）

如果将“十二生肖”依次用数字1-12表示，用f表示岁数与属相之间的映射，易得f1f13，f2f14，，f12f24. 然后结合教师自身的属相，让学生们猜测教师的年龄. 【设计意图】（1）满足学生的好奇心，学生往往对教师的私密感兴趣；（2）突出周期性的本质. 2. 建构概念

定义：对于函数fx，如果存在一个不为零的常数T，使得定义域内的

每一个x值，都满足fxTfx，那么就把函数fx叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.

（1）注意事项

①T是非零常数. ②任意xD（D为定义域），都有xTD，T0. ③任取xD，就是取遍D中的每一个x. （2）fxsinx是不是周期函数，若是，周期是多少？余弦函数呢？

【设计意图】（1）课题的顺序是按照周期、函数的周期性、三角函数的周期性的顺序进行展开，更突出一般周期函数的概念，将三角函数的周期性的概念作为一般周期函数的特例.

例题1

判断下列说法是否正确

（1）因为当x周期. （2）因为当x6时，sinx565，所以不是ysinx的sinx64时，sinx，所以是ysinx的周期. sinx22（3）ysinx（x0,4）是周期为2的周期函数. （4）ysinx（x0）是周期为2的周期函数. 答案：（1）对（2）错（3）错（4）错

【设计意图】对于周期性定义的强化，让学生从正、反两个方面加深对定义的理解，也是对上述三点周期外延的呼应. 2是函数ysinx和ycosx的周期，4，6，2，4，问题1：6，是不是ysinx和ycosx的周期？

结论：若T是yfx的周期，则kTk0,kZ也是fx的周期. 问题2：所有周期函数都有最小正周期吗？fx3xR是不是周期函数？若是，它有最小正周期吗？结论：不是所有周期函数都有最小正周期。

结论：不是所有周期函数都有最小正周期. 【设计意图】让学生意识到最小正周期的含义，以及认识到部分周期函

数是没有最小正周期的. 例题2

求下列函数的周期T

（1）fx3sinx；

（2）fxcos2x；

解：（1）fx3sinx3sinx2fx2，T2. （2）设fx的周期为T，则fxfT，x即cosTx2对于任何实数也就是cos2uTcosuc，oxs2x都成立，对于任意u都成立，其中u2x. 由于ycosu的周期为2，可知使得cosu2Tcosu对于任意实数u都成立的2T最小正值为2，可知2T2，即T，所以fxcos2x的周期为. 根据例2的解题过程我们不难得到如下结论，具体的过程作为本次微课的一个课后探究，请同学们课后去完成.（见进阶练习）

【设计意图】突出fxTfx这一模型，重点是求最小正周期的方法. 3. 课堂小结

通过这节微课的学习，主要学习了以下三个知识点：

（1）周期函数的概念，最小正周期. （2）2kkZ,k0是ysinx和ycosx的周期，2是它们的最小正周期. （3）函数yAsinx（A、、为常数，且A0）及yAcosx（A、、为常数，且A0）的周期T四、进阶练习

2. 试证明：函数yAsinx（A、、为常数，且A0）及yAcosx（A、、为常数，且A0）的周期T2.