2.1.3 相等向量与共线向量ppt课件教学实录

第1课时

平面向量的概念与表示

1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念和向量的几何表示. 3.理解相等向量的含义及向量的一些概念. 4.理解零向量的特点.

一只帆船刚开始在风平浪静的海上行驶,但突遇“热带风暴”,使得它的航向发生了偏移,没有按照规定的航向行驶,虽然行驶了相同的路程但没有到达目的地.为什么?

问题1:向量的概念、向量与数量、向量与有向线段的区别: ①在数学中,把既有大小又有方向的量叫作

.如:

等. ②数量与向量的区别:

只有大小没有方向,是一个代数量,

比较大小、进行

运算;

有方向、大小的双重性,

比较大小,向量的大小是一个数量(正数或0),可以比较大小. ③向量与有向线段的区别:有向线段是具有

的线段,有向线段AB记作:

,起点一定写在终点的前面;

的长度也叫作

素:

、

、

; 向量只有

和方向两个要素,与

无关;向量可以用有向线段来表示. 问题2:向量的表示方法: 的长度;有向线段的三要

①几何表示法:用

表示,即用表示向量的有向线段的

来表示,如图,以A为起点,B为终点的向量表示为向量;

②字母表示法:向量可以用小写字母来表示,书写时用,,等表示(印刷时用黑体字a、b、c表示),如图,向量可表示为a.

问题3:向量的有关概念: (1)向量的模:向量的大小,也就是向量的长度(或称模),记作

,向量不能比较大小,但向量的

可以比较大小.

(2)零向量与单位向量:长度为零的向量叫作零向量,记作0.

(3)长度等于

的向量叫作单位向量.

(4)平行向量:①方向

的两个非零向量叫作平行向量(也称共线向量);②规定向量0与任一向量平行.

(5)相等向量与相反向量:

的两个向量是相等向量;

的两个向量互为相反向量.

问题4:平行向量(共线向量)与平行线段、共线线段的区别: 平行向量(共线向量)不是几何图形,没有几何位置关系,表示两个非零平行向量的有向线段可以

,也可以在

;平行线段和共线线段是几何图形,有位置关系,两条平行线段所在的直线一定

,不会共线,反过来,两条共线线段一定在

,不会平行.

1.给出下列物理量:①质量;②速度;③力;④位移;⑤路程;⑥密度;⑦功.

其中是向量的有(

).

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

2.已知a,b为两个单位向量,下列结论正确的是(

).

A.a=b

B.a=b或a=-b

C.若a∥b,则a=b D.|a|=|b|

3.下列命题中,正确的序号是

.

①平行向量的方向相同;②不相等的向量一定不平行;③零向量只能与零向量相等;④若两个向量在同一条直线上,则这两个向量一定共线;⑤两个非零向量相等,当且仅当它们的模相等且方向相同;⑥单位向量都相等.

4.一辆货车从A点出发向东行驶了150 km到达B点,然后又改变方向向北偏东30°走了300 km到达C点,最后又改变方向,向西行驶了150 km到达D点.

(1)作出向量(2)求|

,,; |.

与向量相关的概念

关于向量有下列说法:

①方向相同或相反的非零向量是平行向量; ②长度相等且方向相同的向量叫相等的向量; ③有公共起点的向量叫共线向量; ④零向量与任一向量共线; ⑤若|a|=|b|,则a=b或a=-b.

其中正确说法的序号是

.

相等向量与共线向量

如图,四边形ABCD是正方形,△BCE为等腰直角三角形.

(1)找出图中与(2)找出图中与(3)找出图中与|(4)找出图中与

向量概念的实际应用

共线的向量;

相等的向量; |相等的向量; 相等的向量.

已知飞机从甲地向北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地,再从乙地向南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地,再从丙地向西南方向飞行1000

下列说法中正确的是

.

km到达丁地,问丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多远? ①若|a|>|b|,则a>b; ②共线向量一定相等; ③起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; ④若|a|=0,则a=0; ⑤与非零向量a共线的单位向量是.

如图,四边形ABCD中,=,N、M分别是AD、BC上的点,且=.求证:=.

已知两个力F1,F2的方向互相垂直,且它们的合力F的大小为10 N,其与力F1的夹角是60°,求力F1,F2的大小.

1.设O为等边三角形ABC的中心,则向量A.有相同起点的向量

B.平行向量

C.模相等的向量 D.相等的向量

2.下列各命题中,正确的是(

).

A.若|a|=|b|,则a=b

B.若|a|=|b|,|b|=|c|,则a=c

C.若|a|=|b|,则a>b或a<-b

D.若a=b,b=c,则a=c

3.下列说法正确的是

.

,,是(

).

①相等的向量,若起点不同,则终点一定不同

②与非零向量共线的单位向量有两个

③不相等的向量一定不平行

4.如图,设O是正六边形ABCDEF的中心.

(1)模与的模相等的向量有多少个? 长度相等、方向相反的向量? 共线的向量有哪些? (2)是否存在与(3)请写出与

(2013年·四川卷)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=

.

考题变式(我来改编):

答案

第二章

平

面

向

量

第1课时

平面向量的概念与表示

知识体系梳理

问题1:①向量

力、速度、加速度、位移

②数量

能

代数

向量

不能

③方向

有向线段

起点

方向

长度

大小

起点

问题2:①有向线段

起点与终点字母

问题3:(1)|

线段AB | 模

(3)1个单位

(4)相同或相反

(5)大小相同,方向相同

大小相同,方向相反

问题4:平行

同一条直线上

平行

同一条直线上

基础学习交流

1.B

判断一个量是不是向量,就是看它是否同时具备向量的两个要素:大小和方向.由于速度、位移、力都是由大小和方向确定的,所以是向量;而质量、路程、密度、功有大小而没有方向,所以不是向量.

2.D

单位向量的模为1,但方向不确定.

3.③④⑤

根据平行向量的定义,它们的方向可以相反,故①不正确;由于模不相等的向量,它们也可以共线,故②不正确;由于零向量只能与零向量相等,故③正确;由共线向量的定义知,当两个向量在同一条直线上时,这两个向量不论方向如何,它们一定共线,故④正确,但是应注意当两个向量共线时,它们却不一定在同一条直线上;由两向量相等的定义知,⑤正确;虽然单位向量的模都相等,但它们的方向可以不相同,因此⑥不正确.

4.解:(1),,如图.

(2)由图可知又|和方向相反,故与共线.

|=||=150 km, 所以ABCD, 所以四边形ABCD是平行四边形, 故||=||=300 km.

重点难点探究

探究一:【解析】共线向量或平行向量是指方向相同或相反的两个非零向量,所以①正确,③不正确;长度相等且方向相同的向量叫相等的向量,故②正确;规定零向量与任一向量平行,故④正确;⑤混淆了两个向量的模相等和两个实数相等的概念,两个向量的模相等,只能说明它们的长度相等,并不意味着它们的方向相同或相反.

【答案】①②④

【小结】对于涉及向量及相关概念的说法往往要抓住这些概念的实质,从概念去分析判断,并注意它们的区别.规定:零向量与零向量相等,零向量与任何向量共线.

探究二:【解析】(1)与(2)与相等的向量有共线的向量有、; 、、、、、、.

(3)与|(4)与|相等的向量有相等的向量是、、、、、、、、.

.

【小结】非零向量共线或平行,有四种情形:(1)两个向量方向相同且模相等;(2)两个向量方向相反且模相等;(3)两个向量方向相同且模不相等;(4)两个向量方向相反且模不相等.注意向量共线与相等的区别.

探究三:【解析】如图,A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地,依题意知,三角形ABC为正三角形, ∴AC=2000 km.

又∵∠ACD=45°,CD=1000, ∴△ACD为直角三角形, 即AD=1000

km,∠CAD=45°.

km.

所以丁地在甲地的东南方向,距甲地1000【小结】解决实际问题的关键是建立数学模型,将实际问题“数学化”.

思维拓展应用

应用一:③

由于向量是既有大小又有方向的量,两个向量不能比较大小,故①不正确;由于共线向量方向相同或相反(模不一定相等),故②不正确;由于向量与起点位置无关,故③正确;忽略了0与0的区别,由|a|=0,知a是零向量,即a=0,但a≠0,故④不正确;因为与任一非零向量,共线的单位向量有两个,一个与a方向相同,一个与a方向相反,所以⑤不正确.

应用二:∵=,∴||=||,且AB∥CD.

∴四边形ABCD是平行四边形.

∴||=||,且DA∥CB.

又∵与的方向相同, ∴=.

=.

同理可证,四边形CNAM是平行四边形,∴

∵|∴|又∵|=||=|与|,||=||, |,且DN∥MB.

的方向相同,∴表示力F1,=.

表示合力F,因为F1,

应用三:设表示力F2,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则与F2垂直,所以平行四边形OACB是矩形,所以|因此,力F1和F2的大小分别为5 N和5基础智能检测

1.C

由正三角形的性质可知,,|=||cos 60°=5,||=||sin 60°=5

N.

的长度相等.

2.D

向量是既有大小又有方向的量,大小相等,但方向却不一定相同,故A、B不正确;向量不能比较大小,故C不正确;向量相等可以传递.

3.①②

认为①错误是考虑到零向量,对于零向量,虽然起点和终点重合,但当起点不同时,终点也是不同的;认为②错误是误以为与非零向量a共线的单位向量只有,而把与方向相反的向量漏掉了,两个向量只要方向相同或相反就是平行向量,故③不正确.

4.解:(1)因为在正六边形中,各条边长与中心O到各顶点的距离都相等,所以模与(2)存在,如(3)与、等.

、、、、、和、、的模相等的向量有23个.

共线的向量有.

全新视角拓展

2

∵+==2,∴λ=2.

思维导图构建

大小

方向

长度为零

同向

单位1

平行或重合