原（逆）命题、原（逆）定理PPT专用教学设计内容

勾股定理的应用

一、教学目标

1．核心素养: 通过探索勾股定理的应用，培养运算能力、逻辑推理能力和应用意识，并逐步渗透模型思想．

2．学习目标

（1）利用勾股定理解决生活中的实际问题. （2）通过添加辅助线，构造直角三角形利用勾股定理解决问题. 3．学习重点

运用勾股定理解决问题

4．学习难点

如何构造直角三角形利用勾股定理解决问题

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

阅读教材P25，思考：勾股定理在生活中有哪些应用？怎样将生活中的实际问题转化为数学问题？

2．预习自测

1.如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60m，AC=20m,求A，B两点间的距离（结果保留根号）

2.如图，在平面直角坐标系中有两点A和B.求这两点之间的距离.

y4BAB

第1题图

321CA123456Ox

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第2题图

预习自测参考答案

1.2.

（二）线AC的长度是斜着能通过的最大长度，所以求出AC，再与木板的宽进行比较，就将此实际问题转化为已知直角三角形的两直角边，求斜边的问题，利用勾股定理轻松求解. 课堂设计

1．知识回顾

（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为、，斜边为，则. （2）公式的变形：b2 = c2-a2 →

b=； a2 = c2-b2 →

a =. （3）利用勾股定理可解决已知直角三角形的两边长，求第三边的问题. 2．问题探究

问题探究一 利用勾股定理解决实际问题 重点知识★

●活动一 初步应用 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？

DCA例1图B

【知识点：勾股定理的应用，无理数的大小估算；数学思想：模型思想】

详解：根据勾股定理，.

所以，因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过. 点拨:此题可看出，木板横着或竖着都不能通过门框，只能试试斜着能否通过.而门框对角

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例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？

ACOBD 例2图

【知识点：勾股定理的应用，无理数的大小估算；数学思想：模型思想】

详解：在Rt△AOB中，根据勾股定理，所以OB=1.在Rt△COD中，根据勾股定

理，，所以OD=≈1.77-1=0.77. ，BD=OD-OB所以梯子的顶端下滑0.5m时，梯子的底端并不是也外移0.5m，而是外移0.7m. ●活动二 尝试自解

例3如图所示，两艘货船分别从点A出发离开码头，甲船以16海里/时的速度向北偏东60o的方向行驶，乙船以12海里/时的速度向南偏东30o的方向行驶，若两船同时出发，2小时后两船相距多远？

【知识点：勾股定理的应用；】

分析：根据题意可得∠BAC=90o，分别求出两船行驶的路程，再根据勾股定理求得两船的距离. 北BA东C南

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问题探究二 构造直角三角形利用勾股定理解决问题 重点、难点知识★▲

●活动一 典例分析

例4：如图，已知∠B=∠D=90o，∠A=60 o，AB=4，CD=2，求四边形ABCD的周长和面积. 【知识点：勾股定理的应用，含30o角直角三角形，二次根式的运算；数学思想：模型思想】

ADEBC例3图

详解：

分别延长AD、BC相交于点E.因为∠A=60

o，所以∠E=30o，所以AE=2AB=8，

根据勾股定理可求BE=在Rt△CDE中，

∠E=30o，所以CE=2CD=4，

根据勾股定理可求DE=BC=BE-CE==. .所以AD=AE-DE=84）+2+（8，）. 4，所以四边形的周长为AB+BC+CD+AD=4+（面积为：ABCD==6. 点拨：仔细观察图形，结合条件，若分别延长AD、BC交于点E，则可以构造出有特殊角的直角三角形，再利用勾股定理即可解答. ●活动二

尝试自解

例5..某市在旧城改造中，计划在市内一块如下图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮每平方米售价为50元，求购买这种草皮需要多少元？

【知识点：勾股定理的应用；数学思想：模型思想】

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20mBA150°30m例3图

（1）

将实际问题转化为直角三角形模型利用勾股定理来解决. 利用勾股定详解：过点C作CD⊥AB交BA的延长线于点D. 因为∠BAC=150o，所以∠DAC=30o.在RtACD中，AC=30m，所以CD=15m. 因为AB=20m，

所以ABCD=×20×15=150m

2所以150×50=7500（元）.答：购买这种草皮需要7500元. D20mBA150°30mC例3答图

点拨：在三角形中，若三角形的某个内角的度数为一些特殊角度，如30o，60o，120o，150o，通常需要构造出直角三角形，在利用特殊直角三角形的性质和勾股定理解决问题. 3．课堂总结

【知识梳理】

（2）

理计算时注意二次根式的运算、化简. 【重难点突破】

（1）运用勾股定理时应注意：①确定该三角形是直角三角形；②分清直角边和斜边，若未明确直角边、斜边，则应分类讨论. （2）有时需要先构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形或将实际问题转化为直角三角形模型来解决. 4．随堂检测

1. 三角形具有稳定性，工人师傅准备给一个长2米，宽1.5米的长方形的对角线订一根木条，则该木条的长为_______. 【知识点：勾股定理的应用；数学思想：模型思想】

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【参考答案】2.5 【解析】由题可建立直角三角形，已知两直角边分别为2、1.5，则斜边为 =2.5. 2.一场暴雨后，一棵垂直于地面的树在距离地面1米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量，树尖到树根的距离为2米，则树高为_________米. 【知识点：勾股定理的应用；数学思想：模型思想】

【参考答案】+1）米

【解析】由题可建立直角三角形，已知两直角边分别为2、1，则斜边为

，则树高（+1）米. 3.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45o角，在作业时调整为60o角，则梯子的顶端沿墙面升高了 m. 【知识点：勾股定理的应用；数学思想：模型思想】

【参考答案】（-）米

【解析】由题可建立两个特殊直角三角形，已知等腰直角三角形的斜边为4m，则直角边为m，含60o的直角三角形的斜边为4m，则两直角边分别为2m、m ，现在的高度为m，所以升高了（-）m. m，原来的高度为4.如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500m到达点B，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C. （1）求A、C两点之间的距离；

（2）确定目的地C在营地A的什么方向. 北DCBEA第4题图东

【知识点：勾股定理的应用，二次根式的运算；】

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【参考答案】1000m，30°

【解析】(1)如图，过点B作BE//AD. ABE=180°,(2)在∠CBA=90°，AC=∠DAB=∠ABE=60°. ∵30°+∠CBA+∠==1000(m) CAB=30°.

∵∠RtABC中，∵BC=500m,AC=1000m,DAB=60°,

DAC=30°，即目的地C在营地A的北偏东30°的方向上.

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