阅读与思考 三角学与天文学板书设计及意图

第一章

三角函数

1.5

函数y=Asin(ωx+φ)的图象

学习目标

1.通过探究理解参数φ,ω,A对y=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)图象的影响; 2.会用两种方法叙述由y=sin

x到y=Asin(ωx+φ)+k的图象的变换过程.会用“五点法”画出y=Asin(ωx+φ)图象的简图; 3.温故知新,认真思考,通过课件的演示达到直观感知、探究学习的目的,领会由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想.

学习过程

一、课前准备(预习课本,找出疑惑之处,标注在学案或书上)

复习1:回顾“五点(画图)法”作正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]、余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]图象的方法.

复习2: y=f(x)→y=f(x+a) 左右平移变换:a>0,向

平移a个单位长度;a<0,向

平移|a|个单位长度

y=f(x)→y=f(x)+k

上下平移变换:k<0,向

平移|k|个单位长度;k>0,向

平移k个单位长度

思考:对函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0),你认为怎样讨论参数φ,ω,A对函数图象的影响?

二、新课导学

探究1:探究φ对y=sin(x+φ),x∈R图象的影响

(函数图象的左右平移变换——平移变换.) 新知:函数y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作将函数y=sin

x的图象上所有的点

(当φ>0)或

(当φ<0)平移

个单位长度而得到.

探究2:探究ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象影响

(函数图象横向伸缩变换——周期变换.) 新知:一般地,函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象可以看作将函数y=sin(x+φ)的图象上所有的点的横坐标

(

)或

(

)到原来的

倍(纵坐标不变)而得到.

探究3:探究A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响

(函数图象的纵向伸缩变换——振幅变换.) 新知:一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)的图象可以看作将函数y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标

(

)或

(

)到原来的

倍(横坐标不变)而得到.

探究4:如何由y=sin x图象通过图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ>0)的图象? 方法1:y=sin xy=sin(x+φ) y=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ) y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ) 反思:由y=sin x图象得到y=Asin(ωx+φ)的图象需经历三步变换,要考虑变换顺序.

方法2:y=sin xy=sinωx

y=sinωxy=sin(ωx+φ)

y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ) 探究5:新知应用

【例1】作出下列函数在一个周期内的简图,并说明其图象是由y=sin x图象如何变换得到的.

(1)y=sin(x-

);(2)y=sin3x;(3)y=

sin x.

【例2】画出函数y=2sin(x-)的简图,并说明如何由y=sin x图象如何变换得到的.

三、总结提升

1.

2.y=sin x到y=Asin(ωx+φ)的变换流程图.

四、课堂练习

已知函数y=3sin(x+)的图象为C.

(1)为了得到函数y=3sin(x-

)的图象,只要把C上所有的点(

) A.向右平行移动

个单位长度

C.向右平行移动个单位长度

B.向左平行移动

个单位长度

D.向左平行移动个单位长度

(2)为了得到函数y=3sin(2x+)的图象,只要把C上所有的点(

) A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变

B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变

C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变

D.纵坐标缩短到原来的

倍,横坐标不变

(3)为了得到函数y=4sin(x+

)的图象,只要把C上所有的点(

) A.横坐标伸长到原来的

倍,纵坐标不变

B.横坐标伸长缩短到原来的

倍,纵坐标不变

C.纵坐标伸长到原来的

倍,横坐标不变

D.纵坐标伸长缩短到原来的

倍,横坐标不变

五、达标检测

1.把函数f(x)=

sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍,而横坐标不变,可得g(x)的图象,则g(x)=(

) A.

sin x

B.

sin

C.

sin3x D.sin x

2.将函数y=2sin

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到新的函数图象,那么新函数的解析式为(

) A.y=4sin

B.y=sin

C.y=2sin

D.y=sin2x

3.把y=sin

x的图象上各点向右平移个单位,再把横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的4倍,则所得的图象的解析式是(

) A.y=4sin(

x-

)

B.y=4sin(2x-

) C.y=4sin(

x+

)

D.y=4sin(2x+

) 4.下列命题正确的是(

) A.y=cos x的图象向左平移单位长度得y=sin x的图象

B.y=sin x的图象向右平移单位长度得y=cos x的图象

C.当φ<0时,y=sin x向左平移|φ|个单位长度可得y=sin(x+φ)的图象

D.y=sin(2x+)的图象由y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到

5.函数y=3sin(2x+)图象可看作是函数y=3sin2x图象,经过如下平移得到的,其中正确的是(

) A.向右平移

单位长度

C.向右平移单位长度

B.向左平移

单位长度

D.向左平移单位长度

6.要得到函数y=sin2x的图象,只需将函数y=cos(2x-

)的图象(

) A.向左平移

单位长度

C.向左平移 单位长度

B.向右平移

单位长度

D.向右平移 单位长度

7.把函数y=f(x)的图象上的各点向右平移

个单位长度,再把横坐标伸长到原来2倍,再把纵坐标缩短到原来的

倍,所得到图象的解析式是y=2sin(

x+

),则f(x)的解析式为

.

8.用“五点法”列表作出函数y=2sin(2x-

)的图象,并分析它与y=sin x的变换关系.

参考答案一、课前准备

复习1:

x

y=sin x

0

π

0

2π

-1 0 1

0 1 y=cos x

1 0 -1 0

复习2: y=f(x)→y=f(x+a)

左右平移变换:a>0,向左平移a个单位长度;a<0,向右平移|a|个单位长度

y=f(x)→y=f(x)+k

上下平移变换:k<0,向下平移|k|个单位长度;k>0,向上平移k个单位长度

二、新课导学

探究1:函数y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作将函数y=sin

x的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平移|φ|个单位长度而得到.

探究2:一般地,函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象可以看作将函数y=sin(x+φ)的图象上所有的点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的

倍(纵坐标不变)而得到.

探究3:一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)的图象可以看作将函数y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

探究4:方法1:y=sin xy=sin(x+φ)

y=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)方法2:y=sin xy=sinωxy=sin(ωx+φ)

y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ) y=sinωx

y=sin(ωx+φ)探究5:新知应用

y=Asin(ωx+φ) 【例1】解:(1)由y=sin x的图象向右平移个单位长度,即得到y=sin(x-)的图象; (2)y=sin x的图象上点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的

倍,即得到y=sin3x的图象; (3)y=sin x的图象上点的横坐标不变,纵坐标缩短为原来的

倍,即得到y=

sin x的图象;

【例2】解:简图如下:

y=sin

x图象上的各点得y=sin(

x-

)的图象y=2sin(x-)的图象.

三、

2.

四、课堂练习

(1)C

(2)B

(3)C 五、达标检测

1.D

2.C

3.B

4.B

5.C

6.D 7.y=3sin(x+

) 8.解:

x

得

y=sin(x-

)的图象得

2 π

0

2π

-2 0 2x-

0

y

0

用“五点法”列表作出函数y=2sin(2x-

)的图象,并分析它与y=sin x的变换关系.

y=sin

x图象上各点得y=sin(2x-)的图象得y=2sin(2x-

)的图象.

得到y=sin(x-

)的图象