3.2.2 （整数值）随机数（random numbers)的产生优质课教案整理

3.2.1

古典概型

内容要求

1.了解基本事件的特点(易错点).2.理解古典概型的定义(重点).3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题(难点).

知识点1

基本事件

1.定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事件. 2.特点：一是任何两个基本事件是互斥的；二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 【预习评价】

(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件.(

) (2)基本事件的个数可能有无限多个.(

) (3)在掷骰子的试验中，共有6个基本事件，每一个基本事件的发生的概率都是16.(

) 提示

(1)×

事件“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”可分解为两个基本事件：“抛掷两枚硬币，一枚正面向上，另一枚正面向下”，“抛掷两枚硬币，两枚正面都向上”. (2)√

如从区间(1,2)内任取一个实数，就有无限多个基本事件. (3)√

在掷骰子的试验中，共有6个基本事件，每个基本事件都是等可能出现的，1故每一个基本事件发生的概率都是. 6知识点2

古典概型

1.定义：古典概型满足的条件：

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

(2)每个基本事件出现的可能性相等. 2.计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率为P(A)＝【预习评价】

从1,2,3中任取两个数字，设取出的数字含有2为事件A，则P(A)＝________. A包含的基本事件的个数. 基本事件的总数

解析

从1,2,3中任取两个数字，所有可能的结果有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，共23个，其中含有2的结果有2个，故P(A)＝. 3答案

2

3

题型一

基本事件的定义及特点

【例1】

袋中有红、白、黄、黑四种颜色且大小相同的四个小球. (1)从中任取一球；(2)从中任取两球；(3)先后各取一球.写出上面试验的基本事件，并指出基本事件的总数. 解

(1)这个试验的基本事件为{红}，{白}，{黄}，{黑}，基本事件的总数是4. (2)一次取两球，如记{红，白}代表一次取出红球、白球两个球，则本试验的基本事件为{红，白}，{红，黄}，{红，黑}，{白，黄}，{白，黑}，{黄，黑}，基本事件的总数是6. (3)先后取两球，如记{红，白}代表先取一红球，后取一白球.因此本试验的基本事件为{红，白}，{白，红}，{红，黄}，{黄，红}，{红，黑}，{黑，红}，{白，黄}，{黄，白}，{白，黑}，{黑，白}，{黄，黑}，{黑，黄}，基本事件的总数是12. 规律方法

列基本事件的三种方法及注意点

(1)列举法：一一列出所有基本事件的结果，一般适用于较简单的问题. (2)列表法：一般适用于较简单的试验方法. (3)树状图法：一般适用于较复杂问题中基本事件个数的探求. 注意点：要分清“有序”还是“无序”. 【训练1】

从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，满足b>a的基本事件有(

) A.3个

C.10个

B.9个

D.15个

解析

把所取的数a，b写成数对(a，b)的形式，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，其中满足b>a的有(1,2)，(1,3)，(2,3)共3个. 答案

A

题型二

古典概型的概率计算

【例2】

某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游. (1)若从这6个国家中任选2个

，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率. 解

(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：

{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个. 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：

{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，

31则所求事件的概率为P＝15＝5. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：

{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个. 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：

2{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝9. 规律方法

求古典概型概率的步骤

(1)先判断是否为古典概型；

(2)确定基本事件的总数n；

(3)确定事件A包含的基本事件个数m；

m(4)计算事件A的概率，即P(A)＝n. 【训练2】

从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：

(1)事件A＝{三个数字中不含1和5}；

(2)事件B＝{三个数字中含1或5}. 解

这个试验的基本事件为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，

(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件总数n＝10. (1)因为事件A＝{(2,3,4)}，

所以事件A包含的事件数m＝1. m1所以P(A)＝n＝10. (2)因为事件B＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，

所以事件B包含的基本事件数m＝9. m9所以P(B)＝＝. n10

方向1

与其他数学知识相综合的古典概型

【例3-1】

从集合A＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{－1,1,3}中随机选取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为(

) 2A.9

4C.9

1B.3

1D.4

解析

分别从集合A，B所取的数a，b表示为(a，b)的形式，一共有9个结果：

(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，若使直线ax－y＋b＝0不经过第四象限，需a≥0且b≥0，则有2个结果满足条2件，故所求的概率为P＝9. 答案

A 方向2

与顺序有关的古典概型

【例3-2】

有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时，

(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；

(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；

(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率. 解

将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：

如上图所示，本题中的等可能基本事件共有24个. (1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事1件，所以P(A)＝24. (2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B包含9个基本事件，93所以P(B)＝24＝8. (3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个基本事81件，所以P(C)＝24＝3. 方向3

与顺序无关的古典概型

【例3-3】

某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为________. 解析

a，b，c三名学生选择食堂的结果有：(A，A，A)，(A，A，B)，(A，B，A)，(B，A，A)，(A，B，B)，(B，A，B)，(B，B，A)，(B，B，B)共8个，三人在同一食堂用餐的结果有(A，A，A)，(B，B，B)，共2个，所以“三人在同一食堂用餐”21的概率为8＝4，而“三人不在同一食堂用餐”与“三人在同一食堂用餐”是对立13事件，所以“三人不在同一食堂用餐”的概率为1－4＝4. 3答案

4

规律方法

解决有序和无序问题应注意两点

(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误. (2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本事件，解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的.

课堂达标

1.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有(

) A.1个

C.3个

B.2个

D.4个

解析

该生选报的所有可能情况：{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以基本事件有3个. 答案

C 2.下列试验中是古典概型的是(

) A.种下一粒花生，观察它是否发芽

B.向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合

C.从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率

D.在区间[0,5]内任取一点，求此点小于2的概率

解析

A中花生发芽与不发芽的概率不一定相等，故不是古典概型，B，D中的试验中的基本事件有无数多个，不是古典概型；C中试验有6个基本事件，且每个基本事件发生的概率相同，是古典概型. 答案

C 3.从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为(

) 1A.2

1C.4

1B.3

2D.3

解析

从甲、乙、丙三人中任选两名代表，共有3个结果：(甲，乙)，(甲，丙)，

2(乙，丙)，其中甲被选中的有2个，故所求的概率为P＝3. 答案

D 4.用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是(

) 1A.6

1C.3

1B.2

2D.3

解析

用1,2,3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123,132,213,231,312,321，其中能被2整除的有132,312这2个数，故能被2整除1的概率为3. 答案

C 5.一个盒子内放有5个完全相同的小球，其上分别标有号码1,2,3,4,5.从中任取一个，记下号数后放回，再取出1个，记下号数后放回，按顺序记录为(x，y)，试写出“所得两球的号数和为6”所包含的基本事件. 解

列表表示所有的基本事件.

由上表可直观地看出，“所得两球的号数和为6”包含以下5个基本事件：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1). 课堂小结

1.古典概型是一种最基本的概型.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即m有限性和等可能性.在应用公式P(A)＝n时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m，n. 2.求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏. 3.对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，再求所求概率.

基础过关

1.下列是古典概型的是(

) A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件

B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时

C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率

D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止

解析

A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D不是. 答案

C 2.甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为(

) 1A.3

1C.2

2B.3

5D.6

解析

甲，乙，丙三名学生随机站成一排，共有6种结果：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，其中甲站在边上的结果有4个，故所求的概率42为6＝3. 答案

B 3.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是(

) 1A.5

3C.5

2B.5

4D.5

解析

从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字，一共能构成20个两位数：12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,21,31,41,51,32,42,52,43,53,54，其中大于40的有8个，82故所求的概率为20＝5. 答案

B 4.将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是________.

解析

试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰3好出现一次正面的结果有3个，故所求的概率是8. 3答案

8

5.在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________. 解析

用列举法知，可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数41的2倍的有1,2；2,1；2,4；4,2共4种，故所求的概率为16＝4. 1答案

4

6.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球. (1)共有多少个基本事件？

(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？

解

(1)分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，从中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1、2号球用(1,2)表示)：

(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5). 因此，共有10个基本事件. (2)上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到两只白球(记3为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝10. 3故摸出2只球都是白球的概率为10. 7.做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数，写出：

(1)试验的基本事件；

(2)事件“出现点数之和大于8”；

(3)事件“出现点数相等”；

(4)事件“出现点数之和等于7”.

解

(1)这个试验的基本事件共有36个，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6). (2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6). (3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6). (4)”出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1). 能力提升

8.若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P落在圆x2＋y2＝9内的概率为(

) 5A.36

1C.6

2B.9

1D.9

解析

掷骰子共有6×6＝36(种)可能情况，而落在x2＋y2＝9内的情况有：(1,1)，41(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种，故所求概率P＝36＝9. 答案

D 9.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为(

) 1A.6

1C.12

5B.36

1D.2

解析

所有基本事件的个数为6×6＝36.由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈x＝1，x＝2，x＝3，{1,2,3,4,5,6}，所以或或满足log2xy＝1，故事件y＝2y＝4y＝6.31“log2xy＝1”包含3个基本事件，所以所求的概率为P＝36＝12. 答案

C

10.三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________. 解析

由题意知本题是一个古典概型.∵试验包含的所有事件共有3个：BEE，1EBE，EEB，而满足条件的只有一种，∴所求概率为3. 1答案

3

11.一次掷两枚骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有实数根的概率是________. 解析

基本事件共有36个.因为方程有实根，所以Δ＝(m＋n)2－16≥0.所以m＋n≥4，其对立事件是m＋n＜4，其中有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件. 311所以所求概率为1－36＝12. 11答案

12

12.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

①若xy≤3，则奖励玩具一个；

②若xy≥8则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动. (1)求小亮获得玩具的概率；

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由. 解

(1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y) x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应. 因为S中元素的个数是16. 所以基本事件总数n＝16.

记“xy≤3”为事件A，

则事件A包含的基本事件数共5个，

即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，

55所以P(A)＝16，即小亮获得玩具的概率为16. (2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C. 则事件B包含的基本事件数共6个. 即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4). 所以P(B)＝63＝. 168事件C包含的基本事件数共5个，

即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1). 535所以P(C)＝16.因为8＞16，

所以小亮获得的水杯的概率大于获得饮料的概率. 13.(选做题)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，将得到的点数分别记为a，b. (1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率. (2)将a，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率. 解

(1)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6＝36，因为直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切，所以有5222＝1，即a＋a＋bb2

＝25，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，所以满足条件的情况只有a＝3，b＝4或a＝214，b＝3两种情况，所以直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2

＝1相切的概率是36＝18. (2)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6＝36. 因为三角形的一边长为5，

所以当a＝1时，b＝5，(1,5,5)，1种；

当a＝2时，b＝5，(2,5,5)，1种；

当a＝3时，b＝3,5，(3,3,5)，(3,5,5)，2种；

当a＝4时，b＝4,5，(4,4,5)，(4,5,5)，2种；

当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6，(5,1,5)，(5,2,5)，(5,3,5)，(5,4,5)，(5,5,5)，(5,6,5)，6

种；

当a＝6时，b＝5,6，(6,5,5)，(6,6,5)，2种；

故满足条件的不同情况共有14种，所以三条线段能围成不同的等腰三角形的概率147为36＝18.