2.1.2 系统抽样教学设计与反思

2.1.2

系统抽样

三维目标

1．知识与技能

(1)了解系统抽样的定义，特点及操作步骤．

(2)理解科学、合理选用抽样方法的必要性．

2．过程与方法

(1)系统抽样的操作步骤．

(2)通过生活实例的对比分析，让学生了解各种抽样方法的使用范围，能根据实际情况选择适当的抽样方法．

3．情感、态度与价值观

(1)将生活实例与数学进行结合，使学生感受到生活处处有数学；激发学生学习的兴趣，渗透“运用数学”解决实际问题的意识．

(2)培养学生科学的探索精神，培养学生合作探讨，相互交流的能力，概括归纳的能力，合情推理的意识．

重点难点

重难点：系统抽样的定义及操作步骤．

在探讨中总结定义，培养学生合作探讨，相互交流的能力．培养学生概括归纳的能力，让学生体会学数学的成就感．通过师生的互动，深化系统抽样和分层抽样概念及遵循原则的理解，用程序框图来表示分层抽样的步骤，加深学生对分层步骤的理解，进而强化了重点．

学生对系统抽样和分层抽样刚刚接触，还没有形成理性认识，所以鼓励学生相互交流，让他们先想、先说、先做，再规范学生的解题过程，避免了老师的单独说教，既降低了学习难度，又激发了学习兴趣．在兴趣中化解了难点．

教学建议

本课利用多媒体辅助教学，在教法上充分体现教师“问题诱导，启发讨论”的引导作用，在学法上突出学生的“自主探究，合作交流”的学习方式，真正实现“教师为主导，学生为主体”的新课程理念，让学生通过“析案例、议疑难、现过程、得结论、做小结”等一系列学习活动来掌握重点，突破难点，充分发挥学生的主动性和参与性．以促进学生发展为出发点，着眼于知识的形成和发展以及学生的学习体验，以问题链形式，由浅入深、循序渐进，让不同层次的学生都能参与到课堂教学中，体验成功的喜悦．

知识1

【问题导思】

1．某中学从5 000名学生中选出50人参加2013年10月1日的庆国庆文娱活动，若用抽签法可行吗？

系统抽样

【提示】

可行，但费时费力、操作不变．

2．能否设计一个合理的抽样方法完成此样本的抽取？

【提示】

能．

先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后逐个抽取的号码依次增加间隔数即得到所求样本．

题型一

系统抽样的概念

[例1]

(1)某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是(

) A．抽签法

C．系统抽样法

B．随机数法

D．以上都不对

(2)为了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k＝________. 【解析】(1)上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15 号，以后各组抽15＋50n(n∈N*)号，符合系统抽样的特点．

1 200(2)根据样本容量为30，将1 200名学生分为30段，每段人数即间隔k＝＝40. 30【答案】(1)C

(2)40 [类题通法] 系统抽样的判断方法

判断一个抽样是否为系统抽样：(1)首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多少个个体，(2)再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样，(3)最后看是否等距抽样．

[活学活用] 某影院有40排座位，每排有46个座位，一个报告会上坐满了听众，会后留下座号为20的所有听众进行座谈，这是运用了(

) A．抽签法

C．系统抽样法

B．随机数表法

D．放回抽样法

【解析】选C

此抽样方法将座位分成40组，每组46个个体，会后留下座号为20的相当于第一组抽20号，以后各组抽取20＋46n，符合系统抽样特点. 【答案】C 题型二

系统抽样的设计

[例2]

(1)某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级800名学生中抽50名学生

800做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k＝＝16，即每1650人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应

取的数是________．

【解析】∵采用系统抽样方法，每16人抽取一个人，1～16中随机抽取一个数抽到的是7，∴在第k组抽到的是7＋16(k－1)，∴从33～48这16个数中应取的数是7＋16×2＝39. 【答案】39 (2)某企业对新招的504名员工进行岗前培训，为了了解员工的培训情况，试用系统抽样的方法按照下列要求抽取员工，请你写出具体步骤．

①从中抽取8名员工，了解基本理论的掌握情况．

②从中抽取50名员工，了解实际操作的掌握情况．

解

①第一步，将504名员工随机编号，依次为001,002,003，…，503,504，将其等距分成8段，每一段有63个个体；

第二步，在第一段(001～063)中用简单随机抽样方法随机抽取一个号码作为起始号码，比如26号；

第三步，起始号＋间隔的整数倍，确定各个个体：将编号为26,26＋63,26＋63×2，…，26＋63×7的个体抽出组成样本．

②第一步，用随机方式给每个个体编号：001,002,003，…，503,504；

第二步，利用随机数表法剔除4个个体，比如剔除编号为004,135,069,308的4个个体，然后再对余下的500名员工重新编号，分别为001,002,003，…，499,500，并等距分成50段，每段10个个体；

第三步，在第一段001,002,003，…，010中用简单随机抽样方法抽出一个号码(如006)作为起始号码；

第四步，起始号＋间隔的整数倍，确定各个个体，将编号为006,016,026，…，486,496的个体抽出组成样本．

[类题通法] 设计系统抽样应关注的几个问题

(1)系统抽样一般是等距离抽取，适合总体中个体数较多，个体无明显差异的情况；

(2)总体均匀分段，通常在第一段(也可以选在其他段)中采用简单随机抽样的方法抽取一个编号，再通过将此编号加段距的整数倍的方法得到其他的编号．注意要保证每一段中都能取到一个个体；

(3)若总体不能均匀分段，要将多余的个体剔除(通常用随机数表的方法)，不影响总体中每个个体被抽到的可能性．

[活学活用]

某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一

个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．

解

(1)先把这253名学生编号000,001，…，252. (2)用随机数表法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生．

(3)把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250. (4)分段．取分段间隔k＝5，将总体均分成50段．每段含5名学生．

(5)以第一段即1～5号中随机抽取一个号作为起始号，如l. (6)从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．

这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本. 题型三

简单随机抽样与系统抽样的综合问题

[例3]

某集团有员工1 019人，其中获得过国家级表彰的有29人，其他人员990人．该集团拟组织一次出国学习，参加人员确定为：获得过国家级表彰的人员5人，其他人员30人，如何确定人选？

解

获得过国家级表彰的人员选5人，适宜使用抽签法：其他人员选30人，适宜使用系统抽样法．

(1)确定获得过国家级表彰的人员人选：

①用随机方式给29人编号，号码为1,2，…，29；

②将这29个号码分别写在一个小纸条上，揉成小球，制成号签；

③将得到的号签放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀；

④从袋子中逐个抽取5个号签，并记录上面的号码；

⑤从总体中将与抽到的号签的号码相一致的个体取出，人选就确定了．

(2)确定其他人员人选：

第一步：将990名其他人员重新编号(分别为1,2，…，990)，并分成30段，每段33人；

第二步，在第一段1,2，…，33这33个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如3)作为起始号码；

第三步，将编号为3,36,69，…，960的个体抽出，人选就确定了．

(1)，(2)确定的人选合在一起就是最终确定的人选．

[类题通法] 系统抽样与简单随机抽样的区别和联系

1．区别

(1)系统抽样比简单随机抽样更容易实施，可节约抽样成本；

(2)系统抽样所得样本的代表性与具体的编号有关，而简单随机抽样所得样本的代表性与个体的编号无关．如果编号的个体特征随编号的变化呈一定的周期性，可能会使抽样的代

表性很差；

(3)系统抽样的应用比简单随机抽样的应用更广泛，尤其是工业生产线上产品质量的检验，不知道产品的数量，因此不能用简单随机抽样．

2．联系

(1)将总体均分后的起始部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；

(2)与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的；

(3)与简单随机抽样一样是不放回的抽样；

(4)总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除再进行系统抽样．

[活学活用] 下面给出某村委会调查本村各户收入情况做的抽样，阅读并回答问题．本村人口数：

1 200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30；

1 200抽样间隔：＝40；

30确定随机数字：取一张人民币，后两位数为12；

确定第一样本户：编号12的户为第一样本户；

确定第二样本户：12＋40＝52,52号为第二样本户

……

(1)该村委会采用了何种抽样方法？

(2)抽样过程存在哪些问题，试修改．

(3)何处是用简单随机抽样？

解

(1)系统抽样．

300(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔＝10，其他步骤30相应改为确定随机数字：取一张人民币，末位数为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12,12号为第二样本户．

(3)确定随机数字：取一张人民币，其末位数为2. 题型四

需要剔除个体的系统抽样

[例4] 为了了解参加某种知识竞赛的1 003名学生的成绩，抽取一个容量为50的样本，选用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程．

【思路探究】

编号→剔除→再编号→分段→在第一段上抽样→在其他段上抽样→成样

解

(1)随机地将这1 003个个体编号为1,2,3，…，1 003；

(2)利用简单随机抽样，先从总体中随机剔除3个个体，剩下的个体数1 000能被样本容

量50整除，然后将1 000个个体重新编号为1,2,3，…，1 000；

(3)将总体按编号顺序均分成50组，每组包括20个个体；

(4)在编号为1,2,3，…，20的第一组个体中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如是18；

(5)以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18,38,58，…，978,998. [类题通法] 当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体，但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等．剔除几个个体后使总体中剩余的个体数能被样本容量整除．

[活学活用] 从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能．请用系统抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．

解

第一步，先从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数法)；

800第二步，将余下的800辆轿车编号为1,2，…，800，并均匀分成80段，每段含k＝80＝10个个体；

第三步，从第1段即1,2，…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个号(如5)作为起始号；

第四步，从5开始，再将编号为15,25，…，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本. 易错易误辨析

系统抽样概念不清致误

[典例]

从2 009名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面方法选取：先用简单随机抽样从2 009人中剔除9人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2 009人中，每个人入选的机会(

) A．都相等，且为C．均不相等

50

2 009

B．不全相等

1

D．都相等，且为

40【解析】因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，本题要先剔除9人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等，

所以每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是被选中，这两个过程是相互独

50立的，所以，每个人入选的机会都相等，且为. 2 009【答案】A 课堂小结

抽样方法的选取：

1．若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样．

2．若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样．

当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大、样本容量较小时宜用随机数表法；当总体容量较大、样本容量也较大时宜用系统抽样．

N3．采用系统抽样时，当总体容量N能被样本容量n整除时，抽样间隔为k＝；当总体容量nN不能被样本容量整除时，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为k＝[]. n当堂检测

1．老师从全班50名同学中抽取学号为3,13,23,33,43的五名同学了解学习情况，其最可能用到的抽样方法为(

) A．简单随机抽样

C．随机数表法

【解析】符合系统抽样的特征．

【答案】D 2．为了解2 400名学生对某项教改的意见，打算从中抽取60名学生调查，采用系统抽样法，则分段间隔k为(

) A．40

B．30

C．20

D．60 2 400【解析】k＝＝40. 60【答案】A 3．某单位有职工200人，35岁以下有40人，35岁到50岁的有120人，51岁及以上的有40人，用分层抽样的方法从中抽取40人，各年龄段分别抽取人数为(

) A．8,24,8

C．24,28,30

B．4,12,20 D．16,16,32 B．抽签法

D．系统抽样

131【解析】各年龄段的比为1∶3∶1，∴各段人数分别为40×＝8,40×＝24,40×＝8. 555【答案】A 4．某运输队有货车1 200辆，客车800辆，从中抽取出抽样过程．

1调查车辆的使用和保养情况，请给10

解

利用分层抽样．

第一步，确定货车和客车各应抽取多少辆．

1货车：1 200×＝120(辆)，

101客车：800×＝80(辆)；

10第二步，用系统抽样法分别抽取货车120辆，客车80辆；

第三步，把抽取的货车和客车组成样本.