2.1.2 向量的几何表示课堂实录

2.3.1

平面向量基本定理

教学目标：1．了解平面向量的基本定理及其意义；

2．通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个向量；

教学过程：

知识引入

物理中的力的分解如何分解．

一、小组讨论

1．物理中力的分解可分解为在竖直方向和水平方向的分力. 2．→l1，→l2是两个不共线的向量，a是平面内的任一向量，如何将a分解到→l1，→l2方向上去？

二、交流展示

平面向量基本定理：

探索

（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是惟一的？

（2）对于平面上两个不共线向量e1，e2，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？

教师引导学生分析设e1，e2是不共线向量，a是平面内任一向量．

a

[来源:学科网ZXXK]

Me1

[来源:Z§xx§k.Com]e2

A

N CO B OA=e1 OM=1e1

[来源:学科网ZXXK] OB=e2 ON=2e2 OC=a=OM+ON=1e1+2e2

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于

这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e1+2e2．我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；这个定理也叫共．面向量定理. ．注意：

（1）e1,e2均是非零向量，必须不共线，则它是这一平面内所有向量的一组．．．基底. （2）基底不唯一，当基底给定时，分解形式唯一；1，2是被a，e1，e2唯一确定的实数．[来源:学。科。网]

（3）由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合. ．．．．（4）20时，a与e1共线；10时，a与e2共线；120时，a0．

基底：我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．



a B 向量的夹角：AOB

0,180

O b

A 正交分解：一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a1e1+2e2的形式，我们称它为向量a的分解，当e1,e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．

四、数学应用

例1 平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，ABa,ADb,试用向量a,b表示MA,MB,MC,MD．

[来源:学科网ZXXK]

例2 已知向量e1,e2，求作向量2.5e1＋3e2

作法：（1）取点O，作OA=25e1 OB＝3e2；

 （2）作

OACB，OC即为所求25e1＋3e2．

例3 设e1,e2是平面内的一组基底，如果AB＝3e1-2e2，BC＝4e1＋e2, CD＝8e1-9e2．求证：A，B，D三点共线．

[来源:Zxxk.Com]

例4 如图，OA、OB不共线，APtAB(tR),用OA、OB表示OP. [来源:学,科,网Z,X,X,K]

P

B

A

O

OB不共线，变式1 如图,OA，求证：存在实数.且1

P点在AB上，[来源:Zxxk.Com]

使OPOAOB. 变式2

设OA,OB不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且OP(1t)OAtOB(tR)．求证：A、B、P三点共线．



五、检测反馈

六、概括小结

七、课外作业

设e1,e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2,CB＝e1＋3e2,CD＝2e1-e2，若A，B，D三点共线，求k的值．

解

BD＝CDCB(2e1-e2)-(e1＋3e2)＝e1-4e2,∵A，B，D三点共来源学#科#网



线，∴AB与BD共线,即存在实数,使得AB＝BD，

即是2e1k. 2(e4e)e2由向量相等的条件，得 ，∴k8．

k4