信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象教学创新设计

1.4.1 三角函数的图像与性质

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正弦函数、余弦函数的图象

学习目标：1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．(重点)2.正、余弦函数图象的简单应用．(难点)3.正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点) [自

主

预

习·探

新

知] 1．正弦曲线

正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．

图1­4­1

2．正弦函数图象的画法

(1)几何法：

①利用单位圆中正弦线画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象；

②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．

(2)五点法：

①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，(2π，0)，用光滑的曲线连接；

②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．

3．余弦曲线

余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．

π，1，(π，0)，3π，－1，22

图1­4­2

4．余弦函数图象的画法

π(1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可．

2(2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为

1

π3π，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．

(0,1)，，0，(π，－1)，22思考：y＝cos x(x∈R)的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么？

ππ[提示]

因为cos x＝sinx＋，所以y＝sin x(x∈R)的图象向左平移个单位可得y22＝cos x(x∈R)的图象．

[基础自测] 1．思考辨析

(1)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同．(

) (2)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称．(

) (3)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象关于原点成中心对称．(

) [解析]

由y＝sin x(x∈R)图象可知(1)正确，(2)错误；

由y＝cos x(x∈R)图象可知(3)错误．

[答案]

(1)√

(2)×

(3)×

2．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象时的列表．

x －sin x 0

②

π

2－1

①

0

3π

2③

2π

0 ①________；②________；③________. π

0 1

[用“五点法”作y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象的五个关键点为(0,0)，π，－1，(π，0)，3π，1，(2π，0)故①为π，②为0，③为1.] 2213．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．

212

[由图象可知：函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－有两个交点．] 2[合

作

探

究·攻

重

难] 正弦函数、余弦函数图象

(1)下列叙述正确的是(

) 的初步认识

①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；

②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；

③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围. A．0

B．1个

2

C．2个

(2)函数y＝sin|x|的图象是(

) D．3个

(1)D

(2)B

[(1)分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．

sin x，x≥0，(2)y＝sin|x|＝－sin x，x＜0，

结合选项可知选B.] [规律方法]

1.解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线．

2．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．

3．正、余弦曲线的对称性

y＝sin x(x∈R)

y＝cos x(x∈R)

对称中心

(kπ，0)，k∈Z

对称轴

x＝kπ＋，k∈Z

x＝kπ，k∈Z

π2kπ＋π，0，k∈Z

2提醒：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为－1或1. [跟踪训练] 1．关于三角函数的图象，有下列说法：

①y＝sin x＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点；

②y＝cos(－x)与y＝cos |x|的图象相同；

③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；

④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．

其中正确的序号是________．

②④

[对②，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；

对④，y＝cos(－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确．]

(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；

用“五点法”作三角函数的图象

用“五点法”作出下列函数的简图．

3

(2)y＝－1＋cos x(0≤x≤2π). 【导学号：84352075】

π3π[思路探究]

列表：让x的值依次取0，，π，，2π→描点→用平滑曲线连接

22[解]

(1)①取值列表如下：

x sin x 1－sin x ②描点连线，如图所示.

0

0

1

π

21

0

π

0

1

3π

2－1

2

2π

0 1

(2)①取值列表如下：

x cos x －1＋cos x ②描点连线，如图所示．

0

1

0

π

20

－1

π

－1

－2

3π

20

－1

2π

1 0

[规律方法]

用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤

(1)列表：

x sin x

(或cos x)

0

0(或1)

π

21(或0)

π

0(或－1)

3π

2－1(或0) －A＋b (或b)

2π

0(或1) y b(或A＋b) A＋b (或b)

b(或－A＋b) b(或A＋b) (2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，π，y2，(π，y)，3π，y4，(2π，322y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．

(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asin x＋b(y

4

＝Acos x＋b)(A≠0)的图象．

提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单位长度．

[跟踪训练] 12．用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]的图象．

2[解]

取值列表如下：

x sin x 1＋sin x 20

0

1

2π

21

3

2π

0

1

23π

2－1

1－

22π

0 1

2描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)

[探究问题] 1．方程sin x＝x的实根个数有多少个？

正弦(余弦)函数图象的应用

提示：在同一坐标系内分别作出y＝sin x，y＝x图象(略)可知在x∈[0,1]内，sin x1时不会相交，所以方程只有一个实根为0. 2．函数f(x)＝x－cos x在[0，＋∞)内有多少个零点？

提示：令f(x)＝0，所以x＝cos x，分别作出y＝x，y＝cos x的图象(略)，可知两函数只有一个交点，所以f(x)在[0，＋∞)内只有一个零点．

(1)函数y＝2sin x－1的定义域为________．

(2)在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数. 【导学号：84352076】

[思路探究]

(1)列出不等式→画出函数图象→写出解集

(2)画出y＝sin x和y＝lg x的图象→找准关键点→判断两个函数图象判断方程sin x＝lg x→

的公共点个数的解的个数，

π5π(1)x＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z66

1

[(1)由2sin x－1≥0得sin x≥，

2

5

1画出y＝sin x的图象和直线y＝. 2

π5π1可知sin x≥的解集为x＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z626

. (2)建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈R的图象．

描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．

由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．] 母题探究：1.本例(1)中的“sin x”改为“cos x”，应如何解答？

11[解]

由2cos x－1≥0得cos x≥，画出y＝cos x的图象和直线y＝. 22

1观察图象可知cos x≥的解集是

2ππx2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z33

. 12．本例(1)中函数改为y＝lgsin x－＋2[解]要使原函数解析式有意义，

13必须满足＜sin x≤. 223－2sin x，应如何解答？

首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示，

1作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为2π5π和；

66

6

作直线y＝3π2π，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和. 233ππ2π5π13观察图象可知，在[0,2π]上，当＜x≤或≤x＜时，不等式＜sin x≤成立，

633622ππ13所以＜sin x≤的解集为x＋2kπ＜x≤＋2kπ3226

或

2π5π＋2kπ≤x＜＋2kπ，k∈Z36

. [规律方法]

1.用三角函数的图象解sin x＞a(或cos x＞a)的方法

(1)作出y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．

(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．

(3)确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集．

2．利用三角函数线解sin x＞a(或cos x＞a)的方法

(1)找出使sin x＝a(或cos x＝a)的两个x值的终边所在的位置．

(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．

[当

堂

达

标·固

双

基] 1．用五点法画y＝3sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(

) π3A．，

62C．(π，0) πB．，3

2D．(2π，0) π3πA

[五个关键点的横坐标依次是0，，π，，2π.] 222．函数y＝cos x与函数y＝－cos x的图象(

) A．关于直线x＝1对称 C．关于x轴对称

B．关于原点对称

D．关于y轴对称

C

[由解析式可知y＝cos x的图象过点(a，b)，则y＝－cos x的图象必过点(a，－b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称．] 3．函数y＝sin x，x∈[0，π]的图象与直线y＝0.99的交点有(

) 【导学号：84352077】

A．1个 C．3个

B．2个

D．4个

B

[观察图象(略)易知：有两个交点．] sin x＜0，4．不等式组π≤x≤52

的解集是________．

7

π(π，5] [当≤x≤π时0≤sin x≤1，

2当π＜x≤5时sin x＜0，

所以原不等式的解集为(π，5]．] 5．用“五点法”画出y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的简图. 【导学号：84352078】

[解]

列表：

x 0

π2

π

3π2

2π

－2cos x －2

0

2

0

－2 －2cos x＋3

1

3

5

3

1 描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象：

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