2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀教学设计

平面向量的基本定理及坐标表示

教学目标

1、了解平面向量的基本定理及其意义，能够将简单图形中的向量表示为一组基底的线性组合；

2、经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会“由特殊到一般，一般到特殊”的思维方式，感受“数形结合”的数学思想；

3、在定理的发现过程中，感受数学探究的乐趣．

设计框架

1、通过设置问题:平行四边形中向量表示的实例引出本节课探究的主题；

2、学生自主探究平面上给定两个向量，任意的第三个向量如何由这两个向量表示；

3、学生归纳自主探究的结果，得到平面向量基本定理；

4、例1通过变换基底，学生在表示平行四边形中向量的过程中加深对平面向量基本定理的认识与理解；

5、例2学生选择适当的基底表示平面向量，既是实现对定理的应用，同时也为下节课向量的正交分解做好铺垫；

6、小结，回顾定理及发现过程，在数学思想上加以升华，让学生在学习过程中收获科学的方法．

教学过程

一、问题引入

教师引导：前面我们学***面向量的有关知识，请同学们解决如下问题：

如图1，在平行四边形ABCD中，

E，F分别为DC，BC中点，ABa，ADb．

试用向量a，b表示：

（1）EF、AE、AF；

(2)DF．

A

(图1)

学生探索：运用向量知识解决问题．

设计意图：学生通过对此题的解决，复习了前面所学，主要为本节课的学习做铺垫．同时借助平行四边形这一特殊图形的作用，学生容易看出平行四边形中不共线的两个向量可以表示其它的向量，由此引出本节课的主题，启发引导学生对于一般情况的探究．

BDECF

二、定理发现

（1）创设问题情境，学生自主探究

教师引导：从问题1中可以看出平行四边形中的一些向量可以用向量AB，AD表示，那么在平面上的一个向量，我们是否也能用两个向量表示？请大家看问题2．

问题2:如图，试用向量e1，e2表示向量c．

ce1e2

(图2) 学生探索：学生利用已有的向量知识做图．

教师引导：为什么要平移向量？为什么能平移向量？如何表示向量c？

教师引导：问题2中的向量e1，e2，c都是我给大家的，下面同桌为一组，其中一个同学画出三个向量e1，e2，c，另一个同学用向量e1，e2表示向量c．

学生探索：学生用直尺，三角板等做出图形，并给出解释．

预案一：大部分同学画出的向量都能被表示出来，只有个别同学的表示出现了困难．

让同学展示无法用向量e1，e2表示向量c的情况．

教师引导：为什么不能用向量e1，e2表示向量c表示？这两个向量e1，e2能表示什么样的向量？

预案二：如果学生都能表示所给向量，教师给出e1，e2共线的情况并追问其原因．

设计意图：由问题1过渡到问题2以后学生研究的向量脱离了平行四边形的限制，变成相对更为一般的平面上的两个向量来表达平面上的向量，为发现定理做一个题设部分的铺垫．此时教师的追问，学生自身的探究，都成为学生发现定理的助推剂．由于本节课将不严格证明平面向量基本定理，作图的过程中一定要将定理中的存在性，唯一性，通过追问，学生自主探究做出明确解释．

（2）小组学习交流，明确定理条件

让同桌为一组，其中一人任意画出三个向量e1，e2，c让另一人用向量e1，e2表示向量c，并要求同学之间相互交流所画的图形.其目的有两个：学生随机构造e1，e2和c，图形的位置更具有一般性，

便于形成定理；二是希望学生发现共线的两个向量不能表示和它不共线的向量，明确定理所需条件. （3）总结作图过程，归纳基本定理

教师引导：通过问题1，2，及小组学***家有什么发现？

学生归纳：学生通过对作图过程的观察，得到平面向量基本定理的内容．

教师小结：

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数a1,a2，使aa1e1a2e2．其中e1，e2叫做基底，a1e1a2e2叫做a的分解式．

教师引导：平面向量基本定理中关键点有哪些？

学生反思：回忆定理发现过程，总结定理中的关键点．

设计意图：从作图到表述定理就是从形到数的一个过程．教师不代替学生发现和表述定理，而是由学生自主探究自主总结发现，教师起到引导、辅助作用，特别要关注学生的表述．

三、定理应用

教师引导：下面我们应用平面向量基本定理定理解决问题．

例1如图3，在平行四边形ABCD中，

E，F分别为DC，BC中点，AE表示

（1）AB，AD；

e，AFf试用向量e，fCDEF（2）DF．

AB

(图3) 学生探索：学生运用所学向量知识解决问题，深入理解平面向量基本定理．

预案一：学生运用向量方程组做出了例1，则启发学生从平面几何的性质入手，看看是否能有不同做法？如果仍然用平面几何做不出来，则留为课后思考．

预案二：学生运用平面几何性质做出了例1，则启发学生从代数角度思考，看看是否能有不同做法？如果学生做不出来，则留为课后思考．

教师总结：无论是借助向量方程组还是平面几何，其目的都是为了用两个不共线的向量表示平面向量，进一步理解、落实平面向量基本定理，通过问题1和例1的对比，在平行四边形中，以向量DF为例，我们发现基底选择不同表示向量的形式也会有差异．

设计意图：由平面上研究任意向量表示的一般情境回到平行四边形中的特殊情境，启发学生对于定理的理解和认识，由于问题1和例1的图形背景完全一致，用于表示向量的基底不一样，但平行四边形中的向量都可以被两个不共线的向量表示出来，紧紧围绕平面向量基本定理的核心，加强学生对定理的理解和认识，培养学生科学严谨的精神．

教师引导：那么在平面上的向量表示，选择不同的基底，表示向量会不会也有差异？我们来看例题2大

家如何表示向量c？

例2:向量e1，e2，c在正方形网格中的位置如图4所示，试用向量e1，e2表示向量c．

（图4）

学生探索：学生运用已学知识解决问题，加强对定理运用的意识．

预案一：学生将向量e1，e2直接作为基底，表示向量c，追问学生如何利用e1，e2表示向量c？根据什么这样表示？表示的结果是什么？这种表示难度比较大，学生还没有学过三角函数中的相关知识，结果求不出来，肯定学生的做法可行，等到进一步学习以后就可以得出结论，启发学生是否可以象例1中的情况那样变换其他基底来表示？

预案二：同预案一，学生发现向量e1，e2直接作为基底，表示向量c难度很大，重新选择水平和竖直方向上两个向量作为基底来表示，追问学生，这一组基底是什么？根据什么表示向量c？由学生完成后续表示，课上时间紧张，可课后完善．

教师小结：例题2可以看出，平面上不共线的两个向量一定能表示平面上的任意向量．当然选择不同的基底，表示向量也会有很大的差异，选择合适的基底会使向量的表示较为容易．

设计意图：类似于问题2的研究背景，再次将研究平面向量表示的视角一般化，引导学生将所学知识应用于实践，同时也为下一节平面向量正交分解做好铺垫，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程．

四、课堂小结

教师引导：通过本节课的学习，同学们学到了什么？有什么样的收获？

学生总结：学生回忆整节课的过程，反思并回答课堂所学，加深对定理学习的认识．

教师总结：今天我们从平行四边形中的向量表示出发，以及通过对平面上任意向量的作图表示，得到了平面向量基本定理，并从代数与几何两个方面深入理解认识，运用定理解决问题．

设计意图：及时反思总结，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考，在以后学习中，可以借鉴的本节课研究过程和方法．