2.1.2 系统抽样优秀教学实录

《系统抽样》教学设计

一、教学目标

1、知识与技能

（1）正确理解系统抽样的概念；

（2）掌握系统抽样的一般步骤；

（3）正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系. 2、过程与方法

通过对实际问题的探究，归纳应用数学知识解决实际问题的方法，理解分类讨论的数学方法. 3、情感与价值观

通过数学活动，感受实际生活与数学的紧密联系，体会现实世界和数学知识密不可分. 二、教学重点、难点：

重点：（1）正确理解系统抽样的概念；

（2）掌握系统抽样方法的步骤. 难点：能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题. 三、教学过程

（一）、创设情境 导入新课

在一次有奖明信片的100 000个有机会中奖的号码(编号00 000～99 999)中，邮政部门按照随机抽取的方式确定后两位为37的号码为中奖号码

问题1：上述抽样是简单随机抽样吗？

问题2：上述抽样有什么特点？

（二）师生互动 探究新知

1、系统抽样的概念

要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法．

2、系统抽样的特点

(1)系统抽样适用于总体容量较大，且分布均衡(即个体间无明显的差异)的情况；

(2)系统抽样的本质是“等距抽样”，要取多少个样本就把总体分成多少组，每组中取一个；

n(3)系统抽样是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是 . N3、系统抽样的步骤：

第一步：编号。先将总体的N个个体编号，有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号门牌号等。

第二步：分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当N/n（n是样本容量），是整数时，取k=N/n。

第三步：确定第一个个体编号。在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)。

第四步：成样。按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上分段间隔k，得到第二个个体编号l+k，至加上k得到第三个个体编号l+2k，依次进行下去，直到获取整个样本。

4、系统抽样需注意的问题

(1)如果总体中个体数N正好被样本容量n整除，则每个个体被n入样的可能性是，若N不能被n整除，需要随机剔除m个个体，mNN＝N－n·

nN这里n

表示不超过

N的最大整数，此时每个个体入样nnn的可能性仍是，而不是. NN－m(2)剔除个体后需要对剩余的个体重新进行编号．

(3)剔除个体及第一段抽样都用简单随机抽样．

（三）、讲练结合 巩固提高

题型一：系统抽样的概念

[例1] (1)某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是

A．抽签法

B．随机数法

C．系统抽样法

D．以上都不对

(2)为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(

) A．50

B．40 C．25 D．20 [解析] (1)所述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n∈N*)号，符合系

(

)

统抽样的特点．

1 000(2)由系统抽样的定义知，分段间隔为＝25. 40[答案] (1)C (2)C

[类题通法] 系统抽样的判断方法

判断一个抽样是否为系统抽样：(1)首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多少个个体；(2)再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样；(3)最后看是否等距抽样．

[活学活用] 某影院有40排座位，每排有46个座位，一个报告会上坐满了听众，会后留下座号为20的所有听众进行座谈，这是运用了(

) A．抽签法

B．随机数表法

C．系统抽样法

D．放回抽样法

解析：此抽样方法将座位分成40组，每组46个个体，会后留下座号为20的相当于第一组抽20号，以后各组抽取20＋46n，符合系统抽样特点. 答案：C

题型二：系统抽样的设计

[例2] (1)某学校初级中学领导采用系统抽样方法，从该校800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800

进行编号，求得间隔数k＝800＝16，即每16人抽取一个人．在1～5016中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是________．

(2)某企业对新招的504名员工进行岗前培训，为了了解员工的培训情况，试用系统抽样的方法按照下列要求抽取员工，请你写出具体步骤．

①从中抽取8名员工，了解基本理论的掌握情况．

②从中抽取50名员工，了解实际操作的掌握情况．

[解] (1)∵采用系统抽样方法，每16人抽取一个人，1～16中随机抽取一个数抽到的是7，

∴在第k组抽到的是7＋16(k－1)，

∴从33～48这16个数中应取的数是7＋16×2＝39. (2)①第一步，将504名员工随机编号，依次为001,002,003，…，503,504，将其等距分成8段，每一段有63个个体；

第二步，在第一段(001～063)中用简单随机抽样方法随机抽取一个号码作为起始号码，比如26号；

第三步，起始号＋间隔的整数倍，确定各个个体：将编号为26,26＋63,26＋63×2，…，26＋63×7的个体抽出组成样本．

②第一步，用随机方式给每个个体编号：001,002,003，…，503,504；

第二步，利用随机数表法剔除4个个体，比如剔除编号为004,135,069,308的4个个体，然后再对余下的500名员工重新编号，

分别为001,002,003，…，499,500，并等距分成50段，每段10个个体；

第三步，在第一段001,002,003，…，010中用简单随机抽样方法抽出一个号码(如006)作为起始号码；

第四步，起始号＋间隔的整数倍，确定各个个体，将编号为006,016,026，…，486,496的个体抽出组成样本．

[答案] (1)39 [类题通法] 设计系统抽样应关注的几个问题

(1)系统抽样一般是等距离抽取，适合总体中个体数较多，个体无明显差异的情况．

(2)总体均匀分段，通常在第一段(也可以选在其他段)中采用简单随机抽样的方法抽取一个编号，再通过将此编号加段距的整数倍的方法得到其他的编号．注意要保证每一段中都能取到一个个体．

(3)若总体不能均匀分段，要将多余的个体剔除(通常用随机数表的方法)，不影响总体中每个个体被抽到的可能性．

[活学活用] 某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．

解：第一步，先把这253名学生编号000,001，…，252. 第二步，用随机数表法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号

对应的学生．

第三步，把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250. 第四步，分段．取分段间隔k＝5，将总体均分成50段．每段含5名学生．

第五步，以第一段即1～5号中随机抽取一个号作为起始号，如l. 第六步，从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．

这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本. 题型三：简单随机抽样与系统抽样的综合问题

[例3] 某集团有员工1 019人，其中获得过国家级表彰的有29人，其他人员990人．该集团拟组织一次出国学习，参加人员确定为：获得过国家级表彰的人员5人，其他人员30人，如何确定人选？

[解] 获得过国家级表彰的人员选5人，适宜使用抽签法：其他人员选30人，适宜使用系统抽样法．

(1)确定获得过国家级表彰的人员人选：

第一步，用随机方式给29人编号，号码为1,2，…，29；

第二步，将这29个号码分别写在一个小纸条上，揉成小球，制成号签；

第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀；

第四步，从袋子中逐个抽取5个号签，并记录上面的号码；

第五步，从总体中将与抽到的号签的号码相一致的个体取出，人

选就确定了．

(2)确定其他人员人选：

第一步，将990名其他人员重新编号(分别为1,2，…，990)，并分成30段，每段33人；

第二步，在第一段1,2，…，33这33个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如3)作为起始号码；

第三步，将编号为3,36,69，…，960的个体抽出，人选就确定了．

(1)(2)确定的人选合在一起就是最终确定的人选．

[类题通法] 系统抽样与简单随机抽样的区别和联系

1．区别

(1)系统抽样比简单随机抽样更容易实施，可节约抽样成本．

(2)系统抽样所得样本的代表性与具体的编号有关，而简单随机抽样所得样本的代表性与个体的编号无关．如果编号的个体特征随编号的变化呈一定的周期性，可能会使抽样的代表性很差．

(3)系统抽样的应用比简单随机抽样的应用更广泛，尤其是工业生产线上产品质量的检验，不知道产品的数量，因此不能用简单随机抽样．

2．联系

(1)将总体均分后的起始部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样．

(2)与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、

公平的．

(3)与简单随机抽样一样是不放回的抽样．

(4)总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除再进行系统抽样．

[活学活用] 下面给出某村委会调查本村各户收入情况做的抽样，阅读并回答问题．本村人口数1 200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数30；

1 200抽样间隔：＝40；

30确定随机数字：取一张人民币，后两位数为12；

确定第一样本户：编号12的户为第一样本户；

确定第二样本户：12＋40＝52,52号为第二样本户；

……

(1)该村委会采用了何种抽样方法？

(2)抽样过程存在哪些问题，试修改．

(3)何处是用简单随机抽样？

解：(1)系统抽样．

(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样300间隔＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，末30位数为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12,12号为第二样本户．

(3)确定随机数字：取一张人民币，其末位数为2.

四、课堂练习 1．系统抽样适用的总体应是 (

) A．容量较少的总体

B．总体容量较多

C．个体数较多但均衡的总体

D．任何总体

解析：系统抽样适用的总体应是个体数较多但均衡的总体．

答案：C

2．从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是 (

) A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5 D．2,4,6,16,32 解析：用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为k，k＋d，k50＋2d，k＋3d，k＋4d，其中d＝＝10，k是1到10中用简单随机抽5样方法得到的编号，因此只有选项B满足要求．

答案：B 3．将参加数学竞赛的1 000名同学编号如下：0001,0002,0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样方法分成50个部分，如果第1部分编号为 0001,0002，…，0020，第1部分随机抽取的一个号码为0015，则抽取的第40个号码为______________．

解析：利用系统抽样的概念，若n部分中在第1部分抽取的号码为m，分段间隔为d，则在第k部分中抽取的第k个号码为m＋(k－1)d，所以抽取的第40个号码为0 015＋39×20＝0 795.

答案：0 795 4．一个总体中有100个个体，随机编号0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个组，组号依次为1,2,3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为t，则在第k组中抽取的号码个位数字与t＋k的个位数字相同．若t＝7，则在第8组中抽取的号码应该是________．

解析：∵k＝8，t＝7，t＋k＝15，

∴在第8组中抽取的号码是75. 答案：75 5．某公司有1 000名职工，从中抽取10人参加培训，试用系统抽样进行具体实施．

解：第一步，将每个职工随机编号为：0001,0002,0003，…，1 000. 1 000第二步，分段，取间隔k＝＝100，将总体分为10组，每10组100名职工．

第三步，从第一组0 001号至0 100号中随机抽取一个号i0. 第四步，按编号将i0，i0＋100，i0＋200，…，i0＋900共10个号码选出．

这10个号码所对应职工即组成样本．

五、课堂小结

1、系统抽样也是等概率抽样，即每个个体被抽到的概率是相等的，从而保证了抽样的公平性. 2、系统抽样适合于总体的个体数较多的情形. 3、系统抽样的步骤为：

（1）采用随机的方法将总体中个体编号；

（2）将整体编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N)；

（3）在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号L；

（4）按照事先预定的规则抽取样本. 4、在确定分段间隔k时应注意：分段间隔k为整数，当

不是整数时，应采用等可能剔除的方法剔除部分个体，以获得整数间隔k.