2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案教学设计

平面向量的正交分解及坐标表示

四川省资阳市外国语实验学校

黄正兵

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

向量加法的三角形法则和平行四边形法则

2．向量加法的交换律：a+b=b+a

3．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) 4．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a



b = a + (b)

5．差向量的意义：

OA= a,

OB= b, 则BA= a



b

即a



b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量

6．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0

7．运算定律

λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

8．

向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa

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9．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一

λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

二、讲解新课：

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

1

axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2

a(x,y)…………○其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的2式叫做向量的坐标表示

坐标，○与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y)

特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定

设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示

2．平面向量的坐标运算

（1）

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，

ab(x1x2,y1y2)

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两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j

即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)

（2）

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标

AB=OBOA=( x2, y2)  (x1,y1)= (x2 x1, y2 y1) （3）若a(x,y)和实数，则a(x,y)

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

三、讲解范例：

例1已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点

解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC得D1=(2, 2) 当平行四边形为ACDB时，得D2=(4, 6) 当平行四边形为DACB时，得D3=(6, 0) 例2已知三个力F1

(3, 4),

F2(2, 5), F3(x, y)的合力F1+F2+F3=0

求F3的坐标

解：由题设F1+F2+F3=0

得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0) 32x0x5即： ∴ ∴F3(5,1) 45y0y1四、课堂练习：

1MN,

求P点的坐标；

211解：设P(x, y)

则(x-3, y+2)=(-8, 1)=(-4, ) 221．若M(3, -2)

N(-5, -1) 且

MP

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4x13x3y21 ∴y3 ∴P点坐标为(-1, -) 2222．若A(0, 1),

B(1, 2),

C(3, 4)

则AB2BC=(-3,-3) 3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4),

C(1, 3),

D(5, -3)

求证：四边形ABCD是梯形

解：∵AB=(-2, 3)

DC=(-4, 6)

∴AB=2DC

∴AB∥DC

且

|AB||DC|

∴四边形ABCD是梯形

五、小结

1．向量的坐标概念

2．向量坐标的运算

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：

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