构建知识体系全国优秀课堂实录

第十七章

勾股定理知识建构教案

一、内容与内容解析

1.

内容：

第17章勾股定理全章知识建构

2.

内容解析

本章主要包含了勾股定理和勾股定理的逆定理，之间还穿插了勾股数，原命题和逆命题的概念及相互关系等知识。其中研究勾股定理和勾股定理的逆定理这块内容相对比较重要，从中我们可以梳理出一个类比学习的方法：对于一个数学对象，我们往往研究它的概念、性质、判定及应用。勾股定理是从边的角度研究出了直角三角形的其中一个性质，勾股定理的逆定理是从边的角度研究出了判定一个三角形是否是直角三角形的方法。两者很好的诠释了由形到数、由数到形的数形结合的思想方法。这一章还应该让学生意识到勾股定理搭建了几何和代数领域的桥梁，在应用环节，应当让学生用起审题的小技巧：有意识地培养学生文字语言、图形语言、符号语言的互相翻译，做到充分理解题意，提高分析问题、解决问题的能力，实质性地培养学生学习数学的自信心。

二、三维目标

1.知识与技能

通过回忆知识，搭建知识结构图的方式，切实将本章知识纳入初中数学的体系当中。

2、过程与方法

经历回顾勾股定理的探索过程，再次感受到观察—计算—猜想—归纳—证明—应用的一般研究数学问题的思路；

在搭建知识结构图的基础上，感受学数学对象的一条主线：概念—性质—判定—应用，提炼出一种类比的学习方法。

理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的关系，渗透数形结合，了解其内容包含由形到数，由数到形。

3、情感、态度与价值观

在应用环节，通过感知从数学语言角度进行审题，提高分析问题和解决问题的能力，数学学习数学自信心，感受数学的纯粹和简单美。

三、教学问题诊断

学生对于本章基础知识非常清楚，但在应用环节显得很薄。对于本章知识的内涵和外延并不是很清楚和重视，也不了解本章在整个初中数学体系中的位置，没有深刻感受到本章知识的学习散发出来的学习数学的方法和韵味。

基于以上分析，可以确定本节课的教学难点：

1、

在梳理知识时，归纳总结经验和方法

2、

在解决问题时，通过熟练运用数学语言之间的互译做到精准审题。

四,教学过程设计

1、整理、优化知识结构

问题1：当我给你一个概念---直角三角形时，你能回想到什么？

（设计意图：学生可以畅所欲言，最后老师点评学生所描述的相关知识都是从直角三角形相关要素边、角、边角关系得到的一些结论，既可以为本章内容的梳理指明一条研究的角度，也为课堂结束之时能够使学生想到直角三角形还可以从边角关系去继续学习）

问题2：对于本章来说，主要从哪个角度研究了直角三角形？你能把本章知识整理成易记的知识结构吗？

（设计意图：预计学生能回答出是从边的角度研究了直角三角形，但是独立将本章知识

搭建框架会显得很困难，可以提示学生其实本章内容的学习是遵循一条主线展开：概念、性质、判定、应用，这样既可以帮助学生梳理知识（直角三角形→勾股定理→勾股定理的逆定理→应用），也能得知以后学习新数学对象的时候，形成类比学习）

问题5：沿着这主线，我们试着回忆获取勾股定理经历了哪些阶段？

（观察、计算、猜想、归纳、验证）

问题6：我们又是如何得到勾股定理的逆定理的？

（将勾股定理的题设和结论交换了位置，获得逆命题，再经历推理论证得到的真命题）

问题7：勾股定理是从边的角度得到了直角三角形的一条性质，是从形到数，而勾股定理的逆定理是从边的角度判断一个三角形是否是直角三角形，是从数到形，充分体现了什么思想方法？

（数形结合的思想方法）

问题8：勾股定理在哪两大领域搭建了桥梁的作用？

（勾股定理在几何和代数两大领域搭建了桥梁的作用，我们对于本章的学习应该要深刻体会到数形结合的好处，形成能由形到数，也能由数到形的双向思路）

问题9：本章的一个重要思想是数形结合，所以本节课老师带来的两类题目，一类是由形到数，另一类是由数到形，来考察同学们分析问题和解决问题的能力。分析较难问题时，我们怎样才能做到审题精准到位？

（实现三种语言的互译：文字语言、图形语言、符号语言）

2、

综合应用，彰显能力

首先，老师带来的是由形到数的问题：

1.在△ABC中，AB=15cm，AC=13cm，高AD=12cm,则

△ABC的周长是______cm. （设计意图：审题时，有时候需要将文字语言转化成图形语言，再转化成符号语言，渗透出数形结合，分类讨论的思想方法）

2.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标为A(3，1)和B(2，4)，

△OAB是直角三角形吗？证明你的结论.

(设计意图：这是类由形到数的题型，为证明是否是直角三角形，需要从边的角度考虑，所以得知道三边的长度，考虑到线段的长度既不是横着，也不是竖着的，而是斜着的，则需要构造Rt △

，利用勾股定理解决问题，从而引出勾股定理的作用：可以通过构造直角三角形，求斜着的线段的长度，通过符号语言，以此还可以推导出平面直角坐标中，任意两点的距离公式，做到知识的外延) 2. 3.在△ABC中，AB=AC=5,若点P是BC边上的任意一点（不与B、C两点重合），试求AP+PBPC的值？

（设计意图：能将形转化成数来研究，渗透出数形结合，用字母代替数并能参与运算的符号化思想，看到AP的位置，结合等腰三角形的性质，能想到通过作垂线段的方式来构造直角三角形，从而通过勾股定理和三线合一解决问题）

6、在△ABC中，∠BAC=90°,M是BC边的中点，过点M作MP⊥MQ交AB于点P，交AC于点Q，222试求BP,PQ,CQ之间的数量关系，并证明你的结论？

（设计意图：引导学生目前数学中改变位置的方式有三种：平移、翻折和旋转，通过翻折或平移的方式，将线段的位置转移，使得目标线段搭建出直角三角形，利用勾股定理来解决问题，所以延长PM至N点，使得PM=MN,连接CN，让学生感知到除了作垂线段外，还可以通过运动改变位置的角度来搭建直角三角形，运用勾股定理来解决问题，从而也能给学生留下一个印象：运用勾股定理，既可以求线段的长度，也可以求线段之间的关系）

承上启下：刚才老师带来的是由形到数的问题，我们知道构造直角三角形，利用数形结合的方式来解决问题，感受到了文字语言、图形语言、符号语言之间互译的奥妙，做到了精准解题，渗透了数形结合、分类讨论等思想方法，

接下来，老师带来的是有数到形的问题，看哪位同学能快速解决：

引例：已知△ABC的三边长分别为 ，求该三角形的面积？

（设计意图：考虑到学生应该会通过画三角形、作辅助线、设未知数、通过求高的方式来解决，但是在计算方面会带来很大的麻烦，让他们感受到方法的优选很重要，才引出由数到形的做法，可以问学生根号13有无几何意义？学生会想到通过构造直角三角形的方式来构造三角形的三边长，通过面积之差来完成，顺势给出构图法，这是数形结合的另一方面

；其次，可以归纳总结出有了勾股定理之后，我们可以在数轴上找到用二次根式表示的数的位置）

尝试：已知a,b是正数，a+b=3，

求 的最小值？

（设计意图：由数到形，构造直角三角形，转化成两点之间，线段最短的几何问题来解决，在求最短路径时，考虑到线段的位置是斜着的，所以能够想到利用作垂线段的方式构造直角三角形，利用勾股定理来解决，再一次点题。）

3汇聚实力，证明自己：

在Rt △ABC中，

∠ABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的一条直线把△ABC分割成两个三角形，其中只有一个是等腰三角形时，则这个等腰三角形的面积是多少？

（设计意图：审题时，通过将文字转化图形，再转化成符号语言来精准审题，渗透出数形结合、分类讨论等思想方法）

4、方法归纳，梳理思想

参照下面问题，回顾本节课所学的主要内容，进行相互交流： 1、本章研究次序是怎样的？ 2、勾股定理的作用是什么？在哪两大数学领域建立了桥梁的作用？对应渗透出什么数学思想方法？ 3、勾股定理的逆定理的作用是什么？ 4、审题时，哪些语言的互译很重要？ 5、除数形结合外，数学语言的互译渗透出了哪些其他思想方法和解题经验？ 6、直角三角形还能继续探究吗？

（还可以从边角关系研究，老师顺势点明后续学习将在初三时学到新的一章知识：三角函数）

5板书设计：

6布置作业