2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优质教案设计

庆来学校高中部高一年级教案——数学

平面向量的正交分解及坐标表示

教 材

必修4

课 题

平面向量的坐标运算

平面向量共线的坐标表示

主备人

余志能

备课时间

1月 5 日

1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示

教学目标

2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算

3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件

教学重点

坐标表示平面向量加、减与数乘运算及向量共线的条件

教学难点

用坐标表示平面向量共线的条件

教

学

过

程

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P94～P100的内容，回答下列问题．

(1)在平面内，规定e1，e2为基底，那么一个向量关于e1，e2的分解是唯一的吗？

提示：唯一．

(2)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量根据平面向量基本定理，提示：相同．

(3)如果向量也用(x，y)表示，那么这种向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？

＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？

.提示：一一对应．

(4)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求a＋b，a－b，λa的坐标？

提示：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．

(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出提示：能．＝(x2－x1，y2－y1)．

的坐标吗？

2．归纳总结，核心必记

(1)平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

(2)平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，则(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．

(3)向量i，j，0的坐标表示

i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)．

(4)平面向量的坐标运算

文字

符号

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2) 加

两个向量和的坐标等于这两个向量相应法

坐标的和

减

两个向量差的坐标等于这两个向量相应法

数

乘

实数与向量的积的坐标等于用这个实数向

量

重

要

一个向量的坐标等于表示此向量的有向结

论

(5)平面向量共线的坐标表示

前提条件

结论

【典例讲解】

线段的终点的坐标减去始点的坐标

乘原来向量的相应坐标

坐标的差

若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy) 已知向量AB―→的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB―→＝(x2－x1，y2－y1) a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0

当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a、b(b≠0)共线

例1．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标. [解答]

AB＝OB－OA

＝(x2，y2)－(x1，y1) ＝(x2－x1，y2－y1)

例2．已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a＋b，a－b，3a＋4b的坐标。

[解答]

a＋b＝（2，1）＋（－3，4）＝（－1，5）．

a－b＝（2，1）－（－3，4）＝（5，－3）．

3a＋4b＝3（2，1）＋4（－3，4）

＝（6，3）＋（－12，16）

＝（－6，19）．

例3．已知□ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（－2，1）、（－1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。

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[解答]由向量加法的平行四边形法则可知

BD＝BA＋AD＝BA＋BC

＝（－2－（－1），1－3）+（3－（－1），4－3）

＝（3，1）

而OD＝OB＋BD＝（－1，3）+（3，－1）＝（2，2）

∴顶点D的坐标为（2，2）

例4．已知a=（4，2），b=（6，y），且a∥b，求y。

[解答] ∵a∥b

∴4y－2×6=0

∴y=3。

作业：P100

1、2、3、4

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