1. 圆周运动ppt配用优秀教学设计

第4节

圆周运动

1．圆周运动是变速运动，匀速圆周运动是线速度大小

处处相等的圆周运动。

2．质点通过的圆弧长度与所用时间的比值为线速度大

小；半径转过的角度Δθ与所用时间的比值称为角

速度，角速度恒定的圆周运动是匀速圆周运动。

3．做匀速圆周运动的物体，经过一周所用的时间叫周

期，物体单位时间内转过的圈数叫转速。

2πr4．线速度、角速度、周期的关系为：v＝ωr＝T，

2πT＝。

ω

一、

线速度

1．定义：物体做圆周运动通过的弧长与通过这段弧长所用时间的比值。

Δs2．定义式：v＝。

Δt3．标、矢性：线速度是矢量，方向与圆弧相切，与半径垂直。

4．匀速圆周运动

(1)定义：沿着圆周，并且线速度的大小处处相等的运动。

(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动。

二、

角速度

1．定义：连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值。

Δθ2．定义式：ω＝。

Δt3．单位：弧度每秒，符号是rad/s或rad·s。

4．匀速圆周运动的角速度：匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。

5．转速与周期

－1

定义

符号

单位

转速

物体单位时间内转过的圈数

周期

做圆周运动的物体，转过一周所用的时间

n 转每秒(r/s) T

秒(s)

- 1 -

转每分(r/min)

三、

线速度与角速度的关系

1．两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。

2．关系式：v＝ωr。

1．自主思考——判一判

(1)做圆周运动的物体，其速度一定是变化的。(√)

(2)角速度是标量，它没有方向。(×)

(3)圆周运动线速度公式v＝Δs中的Δs表示位移。(×)

Δt(4)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等。(√)

(5)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同。(×)

(6)匀速圆周运动是一种匀速运动。(×)

2．合作探究——议一议

(1)打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技，如图所示，若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度相同吗？

提示：篮球上各点的角速度是相同的。但由于不同高度的各点转动时的圆心、半径不同，由v＝ωr可知不同高度的各点的线速度不同。

(2)如图所示，若钟表的指针都做匀速圆周运动，秒针和分针的周期各是多少？角速度之比是多少？

提示：秒针的周期T秒＝1 min＝60 s，

分针的周期T分＝1 h＝3 600 s。

- 2 -

2πω秒T分60由ω＝得＝＝。

Tω分T秒1

描述圆周运动的物理量间的关系

1．意义的区别

(1)线速度、角速度、周期、转速都能描述圆周运动的快慢，但它们描述的角度不同。线速度v描述质点运动的快慢，而角速度ω、周期T、转速n描述质点转动的快慢。

(2)要准确全面地描述匀速圆周运动的快慢仅用一个量是不够的，既需要一个描述运动快慢的物理量，又需要一个描述转动快慢的物理量。

2．各物理量之间的关系

3．v、ω及r间的关系

(1)由v＝ω·r知，r一定时，v∝ω；ω一定时，v∝r。v与ω、r间的关系如图甲、乙所示。

v1 (2)由ω＝知，v一定时，ω∝，ω与r间的关系如图甲、乙所示。

rr

- 3 -

传动装置问题分析

1．甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，它们的角速度和线速度分别为ω1、ω2和v1、v2

。则(

) A．ω1>ω2，v1>v2

C．ω1＝ω2，v1

B．ω1<ω2，v1

D．ω1＝ω2，v1＝v2

2πR2π4πR解析：选C 甲的线速度的大小v1＝，角速度大小ω1＝，乙的线速度大小v2＝，ttt2π角速度大小ω2＝。所以ω1＝ω2，v1

t2．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是(

) A．若它们的线速度相等，角速度也一定相等

B．若它们的角速度相等，线速度也一定相等

C．若它们的周期相等，角速度也一定相等

D．若它们的周期相等，线速度也一定相等

解析：选C 由公式v＝ωr知，当甲、乙两物体的半径r相等时，才满足线速度相等角2πr速度一定相等或角速度相等线速度一定相等，故A、B错误；由公式T＝知，当半径r相v2π等时，才能满足周期相等线速度一定相等，故D错误；由公式T＝知，周期相等时，角速ω度也一定相等，故C正确。

3．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为1∶2，在相等时间里都转过60°圆心角。则(

) A．线速度之比为1∶2 C．角速度之比为2∶1 B．线速度之比为2∶1 D．角速度之比为1∶2 θ解析：选A 根据角速度定义式ω＝，角速度之比为1∶1，故C、D错误；甲、乙两物t体转动半径之比为1∶2，角速度之比为1∶1，根据线速度与角速度关系公式v＝ωr，线速度之比为1∶2，故A正确，B错误。

三类传动装置对比

- 4 -

同轴传动

皮带传动

两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点

齿轮传动

两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点

A、B两点在同轴的一个圆盘上

装置

特点

转动方向

角速度、周期相同

相同

线速度相同

相同

线速度相同

相反

ωA角速度与半径成反比：ωB＝。周期与半径成正比：线速度与半径成正规律

比：＝

ωAr角速度与半径成反比：＝。ωBR周期与半径成正比：＝

vArvBRTARTBrr2r1TAr1＝

TBr2

[典例] 如图所示，皮带传动装置上有A、B、C三点，OA＝O′C＝r，O′B＝2r，则皮带轮转动时下列关系成立的是(

)

A．vA＝vB，vB＝vC

C．vA＝vB，ωB＝ωC

B．ωA＝ωB，vB＞vC

D．ωA＞ωB，vB＝vC

[解析] 根据同轮轴上的点角速度相等，可得ωB＝ωC，同皮带上的点线速度大小相等，可得vA＝vB，由v＝ωr，即有角速度相等时，半径越大，线速度越大，则得vB>vC，线速度相等时，角速度与半径成反比，则得ωA>ωB，由上可得：ωA>ωB＝ωC，vA＝vB>vC，故C正确，A、B、D错误。

[答案] C 解决传动问题的两个关键点

(1)绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v＝ωr与半径r成正比。

(2)在皮带不打滑的情况下，皮带和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝与半径r成反比。

- 5 - vr

1.如图所示，跷跷板的支点位于板的中点，A、B是板的两个端点，在翘动的某一时刻，A、B的线速度大小分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，则(

)

A．vA＝vB，ωA＝ωB

C．vA＝vB，ωA≠ωB

B．vA≠vB，ωA＝ωB

D．vA≠vB，ωA≠ωB

解析：选A A与B均绕跷跷板的中点做圆周运动，在相同的时间转过的角度相等，由角Δθ速度的定义式ω＝，可知角速度相等。由角速度与线速度关系公式v＝ωr，两端点的转Δt动半径相同，故线速度相等，A正确。

2.如图所示的是一个玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是(

)

A．a、b和c三点的线速度大小相等

B．a、b和c三点的角速度相等

C．a、b的角速度比c的大

D．c的线速度比a、b的大

解析：选B a、b、c三点为共轴转动，故角速度相等，B正确，C错误；又由题图知，三点的转动半径ra＝rb＞rc，根据v＝ωr知，va＝vb＞vc，故A、D错误。

3.如图所示，A、B两点分别位于大小轮的边缘上、C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动，以下说法正确的是(

)

A．ωA＝2ωC

C．vA＝vC

B．ωB＝2ωA

D．vA＝2vB

解析：选B 由题图可知，A与C属于同轴转动，所以角速度是相等的，故A错误；点A和点B属于同缘传送，具有相同的线速度大小，由：v＝ωr，结合A的半径是B的半径的2倍，所以ωB＝2ωA，故B正确，D错误；A、C两点角速度大小相等，C点位于大轮半径的中

- 6 -

点，半径是A点半径的一半，再根据v＝ωr可知，A、C两点的线速度之比为2∶1，故C错误。

匀速圆周运动的多解问题

[典例] [多选]如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，则(

)

A．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝dB．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2dC．圆筒转动的角速度可能为ω＝πD．圆筒转动的角速度可能为ω＝3πg

2hg

2hg

2hg

2h2h，水平位移为d，则d＝v0t，解得水[解析] 子弹做平抛运动，故运动的时间t＝平速度v0＝dgg，故A正确，B错误；由题意知，t＝2h2h12π＝n＋，n＝0,1,2,3，…；g2ω1解得ω＝n＋2π2[答案] ACD

g，当n＝0时，C选项正确，当n＝1时，D选项正确。

2h匀速圆周运动的多解问题的解题思路

(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题；两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。

(2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。

- 7 -

1.[多选]如图所示，直径为d的纸筒绕垂直于纸面的O轴匀速转动(图示为截面)。从枪口射出的子弹以速度v沿直径穿过圆筒，若子弹穿过圆筒时先后在筒上留下A、B两个弹孔。AO与BO的夹角为θ，则圆筒转动的角速度ω可能为(

)

A.C.2π＋θd3π＋θv

v

B.D.2π－θd3π－θv

v

dd解析：选CD 如果圆筒顺时针转动，圆筒转过的角度为α＝2nπ＋π＋θ(其中：n＝0,1,2，…)，经历的时间为t＝，故圆筒转动的角速度ω＝dvαt＝2nπ＋π＋θdv＝n＋dπ＋θv，当n＝1时，ω＝3π＋θdv，故C正确；子弹穿过圆筒的过程中，如果圆dv筒逆时针转动，圆筒转过的角度为α＝2nπ＋π－θ(其中：n＝0,1,2，…)，时间：t＝，α2nπ＋π－θ故圆筒转动的角速度ω＝＝＝n＋dπ－θtdvv，当n＝1时，ω＝3π－θdv，故D正确。

2．[多选]如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过圆心O的竖直轴OO′匀速转动，规定经过O点且水平向右为x轴的正方向。在O点正上方距盘面高为h处有一个可间断滴水的容器，从t＝0时刻开始随传送带沿与x轴平行的方向做匀速直线运动。已知t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时，后一滴水恰好开始下落。要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘转动的角速度可能为(

)

A.π2g

hg

2hB．π

D．2π2g

hC．π

g

h- 8 -

12解析：选BC 水滴在竖直方向做自由落体运动，有：h＝gt，解得：t＝22h，要使每g一滴水在圆盘面上的落点都位于同一条直线上，在相邻两滴水的下落时间内，圆盘转过的角度为nπ，所以角速度为ω＝nπ＝nπtg(n＝1,2,3，…)，故B、C正确，A、D错误。

2h

1．[多选]下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是(

) A．是线速度不变的运动

B．是角速度不变的运动

C．是周期不变的运动 D．是位移不变的运动

解析：选BC 匀速圆周运动中线速度的大小不变，方向不断变化；角速度的大小和方向都不变，周期不变，位移的方向时刻改变，故A、D错误，B、C正确。

2．[多选]关于地球上的物体随地球自转的角速度、线速度的大小，下列说法正确的是(

) A．在赤道上的物体线速度最大

B．在两极的物体线速度最大

C．在赤道上的物体角速度最大

D．在北京和广州的物体角速度一样大

解析：选AD 地球上的物体随地球一起绕地轴匀速转动，物体相对地面的运动在此一般可忽略，因此物体随地球一起绕地轴匀速转动的角速度一样，由v＝ωr知半径大的线速度大。物体在地球上绕地轴匀速转动时，在赤道上距地轴最远，线速度最大，在两极距地轴为0，线速度为0。在北京和广州的物体角速度一样大。故A、D正确。

3．[多选]关于匀速圆周运动的角速度与线速度，下列说法中正确的是(

) A．半径一定，角速度与线速度成反比

B．半径一定，角速度与线速度成正比

C．线速度一定，角速度与半径成反比

D．角速度一定，线速度与半径成正比

解析：选BCD 根据ω＝知，半径一定，角速度与线速度成正比，故A错误，B正确；根据ω＝知，线速度一定，角速度与半径成反比，C正确；根据v＝rω知，角速度一定，线速度与半径成正比，D正确。

4．如图所示是自行车传动结构的示意图，其中A是半径为r1的大齿轮，B是半径为r2的小齿轮，C是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为(

)

- 9 - vrvr

A.C.πnr1r3

r2B.D.πnr2r3

r12πnr1r3

r22πnr2r3

r1解析：选C 前进速度即为后轮的线速度，由于同一个轮上的各点的角速度相等，同一条线上的各点的线速度相等，可得ω1r1＝ω2r2，ω3＝ω2，又ω1＝2πn，v＝ω3r3，所以v＝2πnr1r3。选项C正确。

r25.如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω转动，则(

)

A．若θ＝30°，则vA∶vB＝1∶2 B．若θ＝30°，则vA∶vB＝2∶1 C．A、B两点的角速度相等

D．A、B两点的线速度相等

解析：选C 共轴转动的各点角速度相等，故A、B两点的角速度相等；A点的转动半径为Rcos 30°＝33R，B点的转动半径为R，根据v＝Rω公式，线速度之比vA∶vB＝RA∶RB＝22R∶R＝3∶2，故A、B、D错误，C正确。

6.两小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图所示。当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则O点到小球2的距离是(

)

A.C.Lv1

v1＋v2Lv1＋v2

v1B.D.Lv2

v1＋v2Lv1＋v2

v2解析：选B 由题意知两小球角速度相等，即ω1＝ω2，设球1、2到O点的距离分别为v1v2Lv2r1、r2，则＝，又r1＋r2＝L，所以r2＝，B正确。

r1r2v1＋v2

- 10 -

7．[多选]如图所示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是(

)

A．从动轮做顺时针转动

B．从动轮做逆时针转动

C．从动轮的转速为n

D．从动轮的转速为n

解析：选BC 主动轮做顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，A错误，B正确。由于通过皮带传动，皮带与轮边缘接触处的线速度相等，根据v＝2πnr得n2r2＝nr1，所以n2＝r1r2r2r1nr1，故C正确，D错误。

r28．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号的轿车在高速公路上行驶时，速率计的指针指在120 km/h上，可估算此时该车车轮的转速为(

) A．1 000 r/s C．1 000 r/h B．1 000 r/min D．2 000 r/s 120解析：选B 由题意得v＝120 km/h＝ m/s，r＝0.3 m，又v＝2πnr，

3.6得n＝≈18 r/s≈1 000 r/min。

2πr

9.变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度。如图是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则(

) v

A．该车可变换两种不同挡位

B．该车可变换五种不同挡位

C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA：ωD＝1∶4 D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA：ωD＝4∶1

- 11 -

解析：选C A轮通过链条分别与C、D轮连接，自行车可有两种速度，B轮分别与C、D轮连接，又可有两种速度，所以该车可变换四种挡位，故A、B错误。同缘传动边缘点线速度相等，前齿轮的齿数与转动圈数的乘积等于后齿轮齿数与转动圈数的乘积，当A与D组合时，ωAωD两轮边缘线速度大小相等，得：NA·＝ND·，解得：ωA：ωD＝ND∶NA＝12∶48＝1∶4，2π2π故C正确，D错误。

10.如图所示，半径为20 cm的轻质定滑轮固定在天花板上，轻绳一端系一质量m＝2 kg的物体，另一端跨过定滑轮并施一恒定的竖直向下的拉力F＝25 N，已知A为滑轮边缘上的点，B到滑轮中心的距离等于滑轮半径的一半。设在整个运动过程中滑轮与轻绳没有相对滑动，不计一切阻力，那么(g取10 m/s)(

) 2

A．A、B均做匀速圆周运动

B．在F作用下，物体从静止开始运动，2 s末A点的线速度是2.5 m/s C．在F作用下，物体从静止开始运动，2 s末B点的角速度是25 rad/s D．在任何时刻，A点的角速度总是大于B点的角速度

解析：选C 对物体受力分析知F－mg＝ma，物体及细绳以共同的加速度a＝2.5 m/s做匀加速运动，细绳和滑轮没有相对滑动，

vA＝v绳＝at,2 s末速度vA＝5 m/s，A、B同轴转动，故与滑轮具有共同的角速度，线速度与半径成正比，故vB＝2.5 m/s，因为A、B两点的速度在变化，所以不是做匀速圆周运动，A、B、D错误；根据v＝ωr可知滑轮在2 s末的角速度2at5ω＝＝ rad/s＝25 rad/s，故C正确。

r0.211.如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有入口A，在A的正下方h处有出口B。一质量为m的小球从入口A沿圆筒壁切线方向水平射入圆筒内，要使小球从出口B飞出。小球进入入口A处的速度v0应满足什么条件？

解析：该题中小球的运动轨迹是空间螺

旋曲线，可将其分解为两个简单的分运动：一个是以初速度v0在筒内壁弹力作用下做匀速圆周运动，如图甲所示；另一个是在重力作用下做自由落体运动。因此若将圆筒直线AB展开为平面，则小球沿圆筒壁的运动是平抛运动，如图乙所示。据此得小球在筒内运动的时间t

- 12 -

＝2h。

g由题设条件得水平方向的位移应是圆周长的整数倍，即l＝v0t＝2nπR(n＝1,2,3，…)。

联立以上两式得

v0＝nπR2gh，(n＝1,2,3，…)。

答案：v0＝nπR2g，(n＝1,2,3，…)

h12.如图所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：

(1)B球抛出时的水平初速度。

(2)A球运动的线速度最小值。

(3)试确定A球做匀速圆周运动的周期的可能值。

解析：(1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则R＝v0t。①

在竖直方向上做自由落体运动，

12则h＝gt。②

2由①②得v0＝＝RRtg。

2h(2)A球的线速度取最小值时，A球刚好转过一圈的同时，B球落到a点与A球相碰，则A球做圆周运动的周期正好等于B球的飞行时间，

即T＝2hgT，

2πR所以vA＝＝2πRg。

2h(3)能在a点相碰，则A球在平抛的B球飞行时间内又回到a点。即平抛运动的时间等于A球周期的整数倍，所以

- 13 -

t＝2hg1＝nT，T＝2hng，n＝1,2,3，…

答案：(1)R1(3)g

(2)2πR2hg

2hn2h(n＝1,2,3，…)

g

- 14 -