2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示第二课时教学设计

2.3.1

平面向量基本定理

学习目标

1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理. 2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 3.了解向量的夹角与垂直的概念。

重点难点

教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义。

教学难点:平面向量基本定理的运用. 教学过程

引子：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？

问题：如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系.

请完成：

①

给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量b=3e1+2e2、c=e1-2e2.

②

由①可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2来表示向量b,c那

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么

平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢?

【由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来.当e1、e2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.】

由此可得: 【平面向量基本定理】:

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.

【定理说明】: (1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不唯一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式唯一.

提出问题

①

平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？

已知两个非零向量a和b

(如图),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.

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显然,当θ=0°时, a与b同向;当θ=180°时, a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.

如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.

②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？

例1、已知向量e1、e2

(如图),求作向量-2.5e1+3e2

练习：

1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有(

) A. e1、e2一定平行

B. e1、e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a

＝λe1+μe2

(λ、μ∈R)

D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2

(λ、u∈R) 2.已知向量a

＝e1-2e2，b

＝2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c

＝6e1-2e2的关系（

）

A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定

3.已知λ1＞0，λ2＞0，且a＝λ1e1+λ2e2，则a与e1

，e1、e2是一组基底，a与e2

．(填“共线”或“不共线”).

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4.下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是(

) A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

5.设e1与e2是两个不共线向量, a=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若实数λ、μ满足λa+μb=5e1-e2,求λ、μ的值.

6.【能力提升题】已知G为△ABC的重心,设AB=a,AC=b,试用a、b表示向量AG.

课堂小结

1.回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义, 2.总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.

作业布置

已知向量e1、e2

(如图),求作向量（1）e1+2e2（2）-e1+3e2

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