2.3.1 变量之间的相关关系特级教师教学实录

变量间的相关关系

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1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系. 2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系. 3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．

1．相关关系

(1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的________性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系．

(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从________角到________角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从________角到________角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关．

随机 左下 右上 左上 右下

两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系．

2．线性相关

(1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条________附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做_________．

^^^(2)最小二乘法：求线性回归直线方程y＝bx＋a时，使得样本数据的点到它的________________最小的方法叫做最小二乘法，其中a，b的值由以下公式给出：

直线 回归直线 距离的平方和

1

^其中，b是回归方程的________，a是回归方程在y轴上的________．

^ˆ 斜率 截距

y-bx线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程．因此在学习过程中，要重视信息技术的应用．

类型一

变量之间的相关关系的判断

例1：(1)下列变量之间的关系不是相关关系的是(

) A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是判别式Δ＝b2－4ac

B．光照时间和果树亩产量

C．降雪量和交通事故发生率

D．每亩田施肥量和粮食亩产量

(2)现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩x与入学后的第一次数学成绩y，数据如下：

学号

x

y

1 120 84 2 108 64 3 117 84 4 104 68 5 103 69 6 110 68 7 104 69 8 105 46 9 99 57 10 108 71 请利用散点图判断这10名学生的两次数学考试成绩是否具有相关关系．

[解析]

(1)在A中，若b确定，则a，b，c都是常数，Δ＝b2－4ac也就唯一确这了，因此，这两者之间是确定性的函数关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越高，所以B，C，D是相关关系．故选A. (2)两次数学考试成绩散点图如图所示，

由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围，具有正相关关系．因此，这10名学生的两次数学考试成绩具有相关关系．

练习1：对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据2

(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断(

)

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

[答案]

C 类型二

回归直线方程

例2：随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用y(万元)有如下的数据资料：

使用年限x

总费用y

2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0 若由资料，知y对x呈线性相关关系．试求：

^^^^^(1)线性回归方程y＝bx＋a的回归系数a、b；

(2)估计使用年限为10年时，车的使用总费用是多少？

[解析]

第一步，列表xi，yi，xiyi；

nn－－n2第二步，计算x，y，x2，y，ixiyi；

ii＝1i＝1i＝1第三步，代入公式计算b，a的值；

第四步，写出回归直线方程．

(1)利用公式：

b＝

x－－x^－－a＝y－b

x，n^i＝1ni＝1^i－－

xi－xyi－y＝2i＝1－－xiyi－n

x

yxi2－nx2i＝1n－n

3

来计算回归系数．有时为了方便常列表，对应列出xiyi、x2i，以利于求和．(2)获得线性回归方程

后，取x＝10，即得所求．

[答案]

(1)列表：

i xi

yi

xiyi

x2i

1

2

2.2

4.4

4

2

3

3.8

11.4

9

3

4

5.5

22.0

16

4

5

6.5

32.5

25

5 6 7.0 42.0 36 55－－2x＝4，y＝5，xi＝90，xiyi＝112.3 i＝1i＝1^于是b＝112.3－5×4×512.3＝＝1.23；

1090－5×42^－－a＝y－bx＝5－1.23×4＝0.08. ^^(2)线性回归直线方程是y＝1.23x＋0.08，当x＝10(年)时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时，支出总费用是12.38万元．

练习1：已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点中心(即(x，y))为(4,5)，则回归直线的方程是(

) ^^A.y＝1.23x＋4 B.y＝1.23x＋5 [答案]

C 练习2：某公司的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：

x

y

2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 ^^C.y＝1.23x＋0.08 D.y＝0.08x＋1.23 资料显示y对x呈线性相关关系．

^^^^根据上表提供的数据得到回归方程y＝bx＋a中的b＝6.5，预测销售额为115万元时约需________万元广告费．

[答案]

15 有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童年数量，如下表：

人均GDP/万元

患白血病的儿童数/人

10 351 8 312 6 207 4 175 3 132 1 180 (1)画出散点图，并判定这两个变量是否具有线性相关关系；

(2)通过计算可知这两个变量的回归直线方程为＝23.25x＋102.15，假如一个城市的人均GDP为12万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过380人，请问这个断言是否正确？

4

[解析]

(1)根据表中数据画散点图，如图所示，从图可以看出，在6个点中，虽然第一个点离这条直线较远，但其余5个点大致分布在这条直线的附近，所以这两个变量具有线性相关关系．

^^(2)上述断言是错误的，将x＝12代入y＝23.25x＋102.15得y＝23.25×12＋102.15＝381.15＞380，但381.15是对该城市人均GDP为12万元的情况下所作的一个估计，该城市患白血病的儿童可能超过380人，也可能低于380人．

练习1：某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x(元) 销量y(件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68 ^^^^(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20. (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 1[答案]

(1)由于x＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，

61y＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80. 6^^所以a＝y－bx＝80＋20×8.5＝250，

^从而回归直线方程为y＝－20x＋250. (2)设工厂获得的利润为L元，依题意得

L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20(x－8.25)2＋361.25. 当且仅当x＝8.25时，L取得是大值，

故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．

1．下列两个变量之间的关系：

①角度和它的余弦值；

②正n边形的边数与内角和；

③家庭的支出与收入；

④某户家庭用电量与电价间的关系．

其中是相关关系的有(

) A．1个

B．2个

5

C．3个

D．4个

[答案] A 2．下列图形中两个变量具有相关关系的是(

)

[答案] C ^3．设一个回归方程为y＝3＋1.2x，则变量x增加一个单位时(

) A．y平均增加1.2个单位

B．y平均增加3个单位

C．y平均减少1.2个单位

D．y平均减少3个单位

[答案] A 4．现有5组数据A(1,3)、B(2,4)、C(4,5)、D(3,10)、E(10,12)，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．

[答案] D 5．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：

x y 3

2.5

4

3

5

4

6 4.5 (1)请画出上表数据的散点图；

^^^(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

[解析] (1)散点图，如图所示．

(2)由题意，得xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，

i＝1n3＋4＋5＋62.5＋3＋4＋4.5x＝＝4.5，y＝＝3.5，

446

i＝12222x2i＝3＋4＋5＋6＝86，

n66.5－4×4.5×3.566.5－63∴b＝＝＝0.7，

86－4×4.5286－81^^a＝y－bx＝3.5－0.7×4.5＝0.35，

^^故线性回归方程为y＝0.7x＋0.35. (3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，

故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．

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