探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质板书设计

任意角的三角函数

——三角函数线

教学背景：

1．教材地位分析：三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，……可以说,三角函数线是研究三角函数的有利工具.

2．学生现实分析：学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.高一上学期研究指、对数函数图像时,已带领学生学习了几何画板的基础知识，现在他们已经具备初步的几何画板应用能力，能够制作简单的动画，开展数学实验. 教学目标：

1．知识目标: 使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 2．能力目标: 借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；在论坛上开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力. 3．情感目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境. 教学重点难点：

1．重点：三角函数线的作法及其简单应用. 2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来. 教学方法与教学手段：

1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学. 2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展. 3．教学手段：本节课地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验;

借助网络论坛交流各自的观点,展示自己的才能. 教学过程：

一、设置疑问,实验探索（15分钟）

教学环节

教学过程

前面我们学习了角的弧度制，角弧度数的绝对值设计意图

既可以引出单位1 设

置

疑

问,点明主题

概

念

学

习,分

散

难

点

l圆，又可以使学生通，其中l是以角作为圆心角时所对弧的长，r过类比联想主动、快r速的探索出三角函数是圆的半径.特别地, 当r =1时，l,此时的圆称值的几何形式.

为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题. 有向线段：带有方向的线段. 相关概念的学习（1）方向：按书写顺序，前者为起点，后者为终分散了教学难点,使学点，由起点指向终点. 生能够更多的围绕重如：有向线段OM,O为起点，M为终点，由O点点展开探索和研究.

指向M点.

（动态演示）

O M (2) 数值：（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段）

绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值;与坐标轴反向，取负值.如：

y

OM= 1, P 1

ON= -1,

2N M 1

AP =

-1 A 1 x O 2实1.(复习提问)任意角的正弦如何定义? 验角的终边上任意一点P(除端点外)的坐标是y探

（x,y），它与原点的距离是r, 比值叫做的正弦. 索, r辨思考:能否用几何图形表示出角的正弦呢? 析学生联想角的弧度数与弧长的转化,

类比猜测:若研令r=1，则siny.取角的终边与单位圆的交点为讨

P,过点P作x轴的垂线，设垂足为M，则有向线段MP=

ysin.(学生分析的同时,教师用几何画板演示)

请学生利用几何画板作出垂线段MP,并改变角的终

边位置,观察终边在各个位置的情形,注意有向线段的

方向和正弦值正负的对应.特别地,当角的终边在x轴

上时,有向线段MP变成一个点,记数值为0.

这条与单位圆有关的有向线段MP叫做角的正弦

线.

2.思考:用哪条有向线段表示角的余弦比较合适?

并说明理由.

请学生用几何画板演示说明.

美国华盛顿一所大学有句名言:“我听见了,就忘记了;我看见了,就记住了;我做过了,就理解了.”要想让学生深刻理解三角函数线的概念，就应该让学生主动去探索，大胆去实践，亲身体验知识的发生和发展过程.

2

教学已经不再是y α的终边

把教师或学生看成孤tany=AT，但是第’α的终边

立的个体，而是把他P

T

‘

二、三象限角的终边上们的教和学看成是相T ‘

A没有横坐标为1的点，互影响的辩证发展过A 若此时取x=-1的点T‘，程.在和谐的氛围中，-1 O M

1 x 教师和学生都处在自(T)

tan=-y=T‘A‘,有向线由状态，可以不受框段的表示方法又不能统框的束缚，充分表达一. 各自的意见，在自己引导观察：

积极思维的同时又能当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值有什感受他人不同的思维么关系？

方式，从而打破自己统一认识：

的封闭状态，进入更方案1：在象限角的终边或其反向延长线上取x=1加广阔的领域.

的点T，则tan=y=AT；

方案2：借助正弦线、余弦线以及相似三角形知识

yMPAT

AT. 得到tan=

xOMOA几何画板演示验证: 当角的终边落在坐标轴上时，tan与有向线段AT的对应. 这条与单位圆有关的有向线段AT叫做角的正切线. 有向线段OM叫做角的余弦线. y3.

tan如何用有向线段表示？

x讨论焦点：

若令x=1, 则二、作法总结,变式演练（10分钟）

教学环节

教学过程

正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线. 请大家总结这三种三角函数线的作法,并用几何画板演示(一学生描述,同时用电脑演示)：

第一步：作出角的终边，与单位圆交于点P；

第二步：过点P作x轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、余弦线OM；

第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为T，得角的正切线AT. 特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切

设计意图

作法总结

及时归纳总结，加深知识的理解和记忆.

3

变式演练,提高能力

线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，0）. 例1：利用几何画板画出下列各角的正弦线、余弦巩固练习,准确掌线、正切线：

握三角函数线的作法. 2

（1）; （2）.

33学生先做,然后投影展示一学生的作品,并强调三

角函数线的位置和方向.

逆向思维,灵活运例2 利用几何画板画出适合下列条件的角的终用三角函数线,并为利边的范围，并由此写出角的集合：

用三角函数线求解三角函数不等式(组)作11铺垫. （1）sin≥ ; （2）cos≤- .

22

11

分析：先作出满足

sin，cos的角的

22终边(例1已做)，然后根据已知条件确定角终边的范

围.（几何画板动态演示）

5

,kZ}. 答案：（1）{2k2k

6624

2k,kZ}. （2）{2k

33延伸：通过（1）、（2）两图形的复合又可以得

1sin;

2出不等式组的解集：

数形结合思想表1cos.现在由数到形和由形2到数两方面.将任意角25的正弦、余弦、正切2k,kZ}. {2k值分别用有向线段表36示出来体现了由数到形的转化；借助三角函数线求解三角函数方程和不等式又发挥了由形到数的巨大作用. 三、思维拓展,论坛交流（10分钟）

教学环节

教学过程

观察角的终边在各位置的情形,结合三角函数线和已学知识，你能发现什么规律,得出哪些结论？请说明你的观点和理由,并发表于焦作一中教育论坛

(bbs.jzyz.jzedu.cn).

设计意图

给学生建设一个开放的、有活力、有个性的数学学习环境.论坛交流既能展示个人才华,又能照4 思

维

拓

展,论

坛交流

顾到各个层次的学生.来自他人的信息(1) sin2 + cos2 = 1; 为自己所吸收，自己(2)│sin│ + │cos │≥1; 的既有知识又被他人(3) -1≤sin≤1, -1≤cos≤1, tan∈R; 的视点唤起，产生新(4) 若两角终边互为反向延长线，则两角的正切的思想.这样的学习值相等,正弦、余弦值互为相反数; 过程使学生在轻松达(5) 当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正弦、成一个个阶段目标之正切值逐渐增大，余弦值逐渐减小; 后，顺利到达数学学习的新境界.

(6) 当角的终边在直线yx的右下方时, sin＜cos ;当角的终边在直线yx的左上方时, sin＞cos ; ……

学生得出的结论有以下几种：

四、归纳小结,课堂延展（5分钟）

教学环节

教学过程

1.回顾三角函数线作法. 2.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具，自从著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系，使得对三角函数的研究大为简化，现在仍然是我们解三角不等式、比较大小、以及今后研究三角函数图像与性质的基础.

设计意图

回顾三角函数线作法,再次加深理解和记忆.点明三角函数线在其他方面的应用,以及数形结合思想,便于

学生在后续学习中更深入的思考,更广泛的研究. 巩固作业:习题4.3

1,2

提升练习：

巩

1. 已知：sinsin，那么下列命题成立的是固既能保证全体学创（

）

生的巩固应用，又兼新, 顾学有余力的学生，A．若、是第一象限的角，则cos>cos. 课

同时将探究的空间由堂

课堂延伸到课外.

B. 若、是第二象限的角，则tan>tan. 延

展

C. 若、是第三象限的角，则cos>cos.

D. 若、是第四象限的角，则tan>tan. 2．求下列函数的定义域：

（1）

y =

5 归

纳

小

结

2cosx1;

(2) y = lg(3－4sin2x) .

延展作业: 1. .结合三角函数线我们已经发现了一些很有价值的结论,你还能得出哪些结论？

2.查阅数学家欧拉的生平事迹,了解他在数学方面的突出贡献,谈谈你的学习感受.

教学设计说明: 1.让计算机软件和网络真正走入数学课堂,发挥它们的辅助作用. “让计算机软件和网络走入数学课堂”是提出了多年的口号，但是如何真正让多媒体在数学学习中发挥积极的作用却是我们一直在探索的问题.本节课有较广的延展面，是培养学生发现、探索、创新能力的很好素材，但是要在一节课40分钟时间内实现构想，对课的安排提出了非常高的要求.几何画板软件的动画演示功能正好可以帮助学生做数学试验，探讨数学问题；网络论坛可以让他们充分交流，相互学习.为此，我把授课地点放在多媒体网络教室，充分发挥多媒体的优势，既丰富了三角函数线的概念，又培养了学生发现问题、解决问题的能力，探索精神、创新意识也有了相应的提高. 2.不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法.

课堂教学最终是为了让学生摆脱课堂,独立学习,所以不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法.本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的一般思路,让学生逐步领悟这种科学的研究方法,有利于他们今后能够独立地开展科研活动. 3.使学生始终保持学习兴趣,快乐学数学. 苏霍姆林斯基说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者.”本节课正是抓住学生的这一心理需求，充分利用互动工具，让学生动手实践、思考探索，合作交流，真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们对整个学习过程充满激情，快乐学数学！

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