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学习目标

1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象.4.理解三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性质.5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换.

1.任意角三角函数的定义

在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：

(1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；

(2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；

yy(3)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝

(x≠0). xx2.同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. πsin α(2)商数关系：tan α＝

α≠kπ＋2，k∈Z. cos α3.诱导公式

π六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当2k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.

4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质

函数

y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域

R

R

{x|x∈R且x≠

值域

[－1，1]

[－1，1]

对称轴：x＝π对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；对称中心：2对称中心：(kπ，0)(k∈Z)

kπ(k∈Z)；

πkπ＋，k∈Z

2R

对称性

kπ对称中心：2，0(k∈Z)，无对称轴

kπ＋π，02(k∈Z) 偶函数

最小正周期：2π

奇偶性

周期性

奇函数

最小正周期：2π

奇函数

最小正周期：π

单调性

ππ在－＋2kπ，2＋2kπ

在[－π＋2kπ，2π2kπ](k∈Z)上单在开区间(kπ－，kπ＋2(k∈Z)上单调递增；在调递增；在[2kπ，ππ＋2kπ，3π

＋2kπ

π＋2kπ](k∈Z)上2)(k∈Z)上递增

22(k∈Z)上单调递减

π在x＝＋2kπ(k∈Z)时，2单调递减

在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1

无最值

最值

πymax＝1；在x＝－＋22kπ(k∈Z)时，ymin＝－1

类型一

三角函数的概念

例1

已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且25sin θ＝－，则y＝

. 5答案

－8 25解析

r＝x2＋y2＝16＋y2，且sin θ＝－，

5yy25所以sin θ＝＝＝－，所以θ为第四象限角，解得y＝－8. r516＋y2反思与感悟

(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：

①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.

yx②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0).则sin α＝，cos α＝.已知α的rr终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 跟踪训练1

已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值. 解

∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，

∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，

则x＝4t，y＝－3t. r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|. y－3t3当t＞0时，r＝5t，sin α＝＝＝－，

r5t5x4t4y－3t3cos α＝＝＝，tan α＝＝＝－；

r5t5x4t4y－3t3当t＜0时，r＝－5t，sin α＝＝＝，

r－5t5x4t4y－3t3cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－. r－5t5x4t4343综上可知，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－

554343或sin α＝，cos α＝－，tan α＝－. 554类型二

同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用

例2

已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π).求：

3πcos22－θπsin2＋θ(1)＋；

π1＋tanπ－θcos2－θ＋cos－π－θ(2)m的值；

(3)方程的两根及此时θ的值. 解

由根与系数的关系，得

sin θ＋cos θ＝msin θcos θ＝. 2sin2θcos θ(1)原式＝＋

sin θ－cos θ1－tan θsin2θcos θ＝＋

sin θsin θ－cos θ1－cos θ3＋1，

2

sin2θcos2θ＝－

sin θ－cos θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋1. 23＋1，

2(2)由sin θ＋cos θ＝两边平方可得

4＋231＋2sin θcos θ＝，

4m31＋2×＝1＋，

22m＝3. 233可解方程2x2－(3＋1)x＋＝0，

22(3)由m＝13得两根和. 22∴3cos θ＝2ππ∴θ＝或. 631sin θ＝，2

sin θ＝23，

或

1cos θ＝.2

∵θ∈(0，2π)，

sin α反思与感悟

(1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进cos α行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α. π(2)诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符2号看象限. sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋α跟踪训练2

已知f(α)＝. sin－π＋α·tan－α＋3π(1)化简f(α)；

1ππ(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；

84247π(3)若α＝－，求f(α)的值. 4sin2α·cos α·tan α解

(1)f(α)＝＝sin α·cos α. －sin α－tan α

1(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，

8(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α

13＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝. 84ππ又∵<α<，∴cos α

42∴cos α－sin α＝－3. 247ππ(3)∵α＝－＝－6×2π＋，

4447π47π－47π

－＝cos－·∴fsin444π－6×2π＋π

－6×2π＋·＝cossin44π

π221＝cos·sin＝×＝. 44222类型三

三角函数的图象与性质

π例3

将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，3然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝3sin x的图象. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0，1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值. 解

(1)函数y＝3 sin x的图象向下平移1个单位长度得y＝3sin x－1，再将得到的图象上3π的点的横坐标伸长为原来的倍，得到y＝3sinx－1的图象，然后向右平移1个单位长度，π3ππ2ππππ得到y＝3sin(x－)－1的图象，∴函数y＝f(x)的最小正周期为T＝＝6.由2kπ－≤x－33π2333π151≤2kπ＋，k∈Z，得6k－≤x≤6k＋，k∈Z，∴函数y＝f(x)的单调递增区间是[6k－，6k22225＋]，k∈Z. 2(2)∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，

∴当x∈[0，1]时，y＝g(x)的最值即为x∈[3，4]时，y＝f(x)的最值. ππ2π∵当x∈[3，4]时，x－∈[，π]，

333ππ31∴sin(x－)∈[0，]，∴f(x)∈[－1，]. 3322

1∴当x∈[0，1]时，y＝g(x)的最小值是－1，最大值为. 2反思与感悟

研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决. π2x＋的部分图象如图所示. 跟踪训练3

函数f(x)＝3sin6(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；

ππ－，－上的最大值和最小值. (2)求f(x)在区间122

7π解

(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3. 6ππ5ππππ－，－，所以2x＋∈－，0，于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)(2)因为x∈12266612πππ取得最大值0；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3. 623类型四

三角函数的最值和值域

命题角度1

可化为y＝Asinωx＋φ＋k型

π例4

求函数y＝－2sin(x＋)＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值. 6ππ7π解

∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，]，

6661π∴－≤sin(x＋)≤1. 26ππ当sin(x＋)＝1，即x＝时，y取得最小值1. 63π1当sin(x＋)＝－，即x＝π时，y取得最大值4. 62π∴函数y＝－2sin(x＋)＋3，x∈[0，π]的最大值为4，最小值为1. 6反思与感悟

利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响. ππ跟踪训练4

已知函数y＝asin(2x＋)＋b在x∈[0，]上的值域为[－5，1]，求a，b的值. 62π解

∵x∈[0，]，

2ππ7π1∴2x＋∈[，π]，sin(2x＋)∈[－，1]. 66662

a＋b＝1，a＝4，∴当a＞0时，a解得

b＝－3；－＋b＝－5，2

a－2＋b＝1，a＝－4，当a＜0时，解得

b＝－1.a＋b＝－5，

∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1. 命题角度2

可化为sin x或cos x的二次函数型

π例5

已知|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值. 4解

y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1. π22令t＝sin x，∵|x|≤，∴－≤sin x≤. 4221522则y＝－t2＋t＋1＝－(t－)2＋(－≤t≤)，

2422∴当t＝－2π2151－2，即x＝－时，f(x)有最小值，且最小值为－(－－)2＋＝. 242242反思与感悟

在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错. 跟踪训练5

已知函数f(x)＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>0，求a，b的值. 解

令t＝sin x，则

aat＋2＋＋b＋1，

g(t)＝－t－at＋b＋1＝－2422a且t∈[－1，1].根据对称轴t0＝－与区间[－1，1]的位置关系进行分类讨论. 2a①当－≤－1，即a≥2时，

2ymax＝g－1＝a＋b＝0，a＝2，解得

ymin＝g1＝－a＋b＝－4，b＝－2.

a②当－1<－<0，即0

2aa－＝＋b＋1＝0，ymax＝g24

ymin＝g1＝－a＋b＝－4，a＝2，a＝－6，解得(舍)或(舍)，

b＝－2b＝－102

综上所述，a＝2，b＝－2. 类型五

数形结合思想在三角函数中的应用

πm例6

已知方程sin(x＋)＝在[0，π]上有两个解，求实数m的取值范围. 32ππm解

函数y＝sin(x＋)，x∈[0，π]的图象如图所示，方程sin(x＋)＝在[0，π]上有两个解等332πm价于函数y1＝sin(x＋)，y2＝在同一平面直角坐标系中的图象在[0，π]上有两个不同的交点，32所以3m≤＜1，即3≤m＜2.

22

反思与感悟

数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想. ππ跟踪训练6

设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0).若f(x)在区间[，]62π2ππ上具有单调性，且f()＝f()＝－f()，则f(x)的最小正周期为

. 236答案

π

Tππππ2ππ2πππ解析

记f(x)的最小正周期为T.由题意知≥－＝.又f()＝f()＝－f()，且－＝，

2263236326可作出示意图如图所示(一种情况)，

ππ1π∴x1＝(＋)×＝，

2623π2π17πx2＝(＋)×＝，

23212T7πππ∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π.

41234

1.若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝A.43

43C.－43或－

3答案

C 解析

由三角函数定义可知，r＝a2＋16，

B.±43 D.3 3，则a的值为(

) 4

sin α＝aa2＋16

，cos α＝－4a2＋16，

sin α·cos α＝－4a3a2＋16＝4，

得a＝－43或－433. 2.已知f(α)＝sinπ－αcos2π－α31πcos－π－αtan α，则f(－3)的值为(

) A.12

B.－13

C.－112

D.3

答案

C 解析

∵f(α)＝sin αcos－αcosπ＋αtan α＝sin αcos α－cos α·sin α

cos α＝－cos α，

∴f(－31π31π3)＝－cos(－3) ＝－cos(10π＋ππ13)＝－cos3＝－2. 3.函数y＝|sin x|＋sin|x|的值域为(

) A.[－2，2]

B.[－1，1]

C.[0，2]

D.[0，1]

答案

C 解析

∵f(x)＝|sin x|＋sin xx≥0，|sin x|－sin xx＜0，

∴0≤f(x)≤2.故选C. 4.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(

A.2，－ππ3

B.2，－6

C.4，－ππ6

D.4，3

答案

A 解析

从图象可得35π4T＝12－－π3＝3π4，

)

2π∴T＝π＝，∴ω＝2. ω5π2×5π＋φ＝2sin5π＋φ＝2，且－π＜φ＜π，∴φ＝－π. 又∵f＝2sin12126223175.已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围. 4解

令t＝sin x，则t∈[－1，1]，

11则函数可化为f(t)＝－t2＋t＋a＝－(t－)2＋a＋. 24111当t＝时，f(t)max＝a＋，即f(x)max＝a＋；

244当t＝－1时，f(t)min＝a－2，

即f(x)min＝a－2. 1故函数f(x)的值域为[a－2，a＋]. 4117a＋4≤4，所以解得3≤a≤4. a－2≥1，故实数a的取值范围为[3，4].

三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.

课时作业

一、选择题

5π5πsin ，cos ，则角α的最小正值为(

) 1.已知角α的终边上一点的坐标为665πA.

611πC.

6答案

D 解析

因为sin cos π5ππ1π－＝sin ＝，

＝sin66622πB.

35πD.

3π5ππ3π－＝－cos＝－，

＝cos6662

所以点sin 5π6，cos5π6在第四象限. cos5π又因为tan α＝6＝－3＝tan2π－π＝tan 5π，

sin5π336所以角α的最小正值为5π3.故选D. 2.若sin(π－α)＝－53，且α∈(π，3π2)，则sin(π2＋α)等于(

) A.－53

B.53

C.－23

D.23

答案

C 解析

∵sin(π－α)＝－53，∴sin α＝－53，

又∵α∈(π，3π2)，

∴cos α＝－1－sin2α＝－

1－59＝－23，

∴sin(π2＋α)＝cos α＝－23，故选C. 3.已知函数f(x)＝12(sin x＋cos x)－12|sin x－cos x|，则f(x)的值域为(

) A.[－1，1]

B.[－22，1] C.[－1，222]

D.[－1，－2] 答案

C 解析

f(x)＝112(sin x＋cos x)－2|sin x－cos x| ＝sin x，sin x≤cos x，cos x，sin x＞cos x.

函数f(x)的图象如图所示，由f(x)的图象，知f(x)的值域为[－1，22].

4.设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是()

A.[－4，－2]

C.[0，2]

答案

A B.[－2，0]

D.[2，4]

解析

由数形结合的思想，画出函数y＝4sin(2x＋1)与y＝x的图象，观察可知选A.

ππ2x＋的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(

) 5.将函数y＝3sin32π7πA.在区间12，12上单调递减

π7πB.在区间12，12上单调递增

ππ－，上单调递减

C.在区间63ππ－，上单调递增

D.在区间63答案

B πππ2ππ2x＋向右平移个单位长度得到y＝3sin2x－2＋＝3sin2x－的图象. 解析

y＝3sin3332π7πππ2π，，则2x－∈－，，

∵x∈12123222ππ7π2x－在，上单调递增. ∴y＝3sin312126.函数f(x)＝Asin(ωx＋θ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(x)等于(

)

π2x－

A.2sin3π4x＋

C.2sin3答案

A π2x－

B.2sin6π4x＋

D.2sin6

π35π－＝T，

解析

由图象知A＝2，∵－12345ππ∴T＝π，∴ω＝2.∵2×＋θ＝＋2kπ(k∈Z)，

122ππ2x－. ∴可取θ＝－，∴f(x)＝2sin33π5π7.同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在区间[，π]上是单36调递增函数”的一个函数可以是(

) πA.y＝cos(2x－)

35πC.y＝sin(2x＋)

6答案

B 2ππ解析

由T＝＝π知，ω＝2，D错；图象与对称轴的交点为最值点，即当x＝时，函数值ω3为最值，A错；由B的单调递增区间，可得

πππππ5π5π－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，即为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)，当k＝1时，[，π]∈[，26263664π]，故选B. 3二、填空题

8.设x∈(0，π)，则f(x)＝cos2x＋sin x的最大值是

. 5答案

4解析

∵f(x)＝cos2x＋sin x

＝－sin2x＋sin x＋1 15sin x－2＋. ＝－24又∵x∈(0，π)，∴0＜sin x≤1，

15∴当sin x＝时，f(x)的最大值是. 24πA＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)9.函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)2＋…＋f(2 014)的值等于

. πB.y＝sin(2x－) 6xπD.y＝sin(＋) 26

答案

2

π解析

由图知A＝2，ω＝，φ＝0，

4π∴f(x)＝2sinx，

4∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0. 又f(x)的周期为8，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014). ＝f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝2. ππ10.设函数f(x)＝sin(2x＋)，下列命题：①f(x)的图象关于直线x＝对称；②f(x)的图象关于点33ππ(，0)对称；③把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象；④f(x)的最小1212π正周期为π，且在[0，]上为增函数.其中正确命题的序号为

. 6答案

③

ππππkπ解析

f(x)＝sin(2x＋)的图象的对称轴方程满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)；332122πππkπf(x)＝sin(2x＋)的图象的对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋(k∈Z)；33622ππππ5πf(x)的周期为T＝＝π，由(2x＋)∈[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，得f(x)的增区间为[kπ－，kπ232212πππππ＋](k∈Z)；把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到f(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)12121232＝cos 2x的图象，为偶函数.故只有③正确. ππf对x∈R恒成立，且f>f(π)，则f(x)的单调递11.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，若f(x)≤62增区间是

. π2π＋kπ，＋kπ(k∈Z) 答案

36πππππ＋φ＝±解析

由题意可知，当x＝时，f(x)取最值.∴f＝sin1，∴＋φ＝＋kπ(k∈Z)，63632ππ∴φ＝＋kπ(k∈Z).又f2>f(π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.不妨取φ6＝－5π5ππ5πππ4π2x－.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，则＋2kπ≤2x≤＋，则f(x)＝sin6626233π2ππ2π＋kπ，＋kπ(k∈Z). 2kπ(k∈Z)，∴＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为3663三、解答题

12.若sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，且

解

∵sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，

1－sin α

＋

1＋sin α1＋sin α＝22，求tan α. 1－sin α

∴α是第二象限角，

∴

＝

＝1－sin α＋

1＋sin α1－sin α2＋

1－sin2α1＋sin α

1－sin α1＋sin α2

1－sin2α22＝＝22，

|cos α|－cos α22，则sin α＝，tan α＝－1. 22∴cos α＝－π13.已知f(x)＝3sin(2x＋)－1. 4(1)f(x)的图象是由y＝sin x的图象如何变换而来？

(2)求f(x)的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x的值. 解

(1)将函数y＝sin x图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y＝13sin x的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到函2ππ数y＝3sin 2x的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝3sin(2x＋)84π的图象，最后把所得到的函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f(x)＝3sin(2x＋)－14的图象. ππ(2)最小正周期T＝π，由2x＋＝＋kπ(k∈Z)，

42πkπ得对称轴方程为x＝＋(k∈Z). 82ππ当2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，

42π即x＝＋kπ(k∈Z)时，

8f(x)取得最大值2. 四、探究与拓展

ππ14.将函数f(x)＝2sin(ωx－)(ω>0)的图象向左平移个单位得到函数y＝g(x)的图象.若y＝g(x)33ωππ在[－，]上为增函数，则ω的最大值为

. 64答案

2 π2x－，x∈R. 15.已知函数f(x)＝2cos4(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

ππ－，上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值. (2)求函数f(x)在区间82π2x－，x∈R，

解

(1)因为f(x)＝2cos42π所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.

2π由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，

43ππ得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，

883ππ－＋kπ，＋kπ(k∈Z). 故函数f(x)的单调递增区间为88ππππππ2x－在区间－，上为增函数，在区间，上为减函数，又f－(2)因为f(x)＝2cos488828ππ＝2cosπ－π＝－2cos π＝－1，所以函数f(x)在区间－π，π上的最＝0，f＝2，f824824ππ大值为2，此时x＝；最小值为－1，此时x＝. 82