小结课时教学实录

章末复习课

一、知识网络构建

二、核心知识归纳

1．五种常见的向量

(1)单位向量：模为1的向量．

(2)零向量：模为0的向量．

(3)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量．

(4)相等向量：模相等，方向相同的向量．

(5)相反向量：模相等，方向相反的向量．

2．两个重要定理

(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa．

(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．

3．两个非零向量平行、垂直的充要条件

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：

(1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔x1y2－x2y1＝0，

(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．

4．平面向量的三个性质

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2．

→(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x2－x12＋y2－y12．

x1x2＋y1y2a·b(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝2222．

|a||b|x1＋y1x2＋y25．向量的投影

(1)向量a在b方向上的投影为|a|cos θ＝(2)向量b在a方向上的投影为|b|cos θ＝6．向量的运算律

(1)交换律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a．

(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c，a－b－c＝a－(b＋c)，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c．

(4)重要公式：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．

三、方法要点

（一）

平面向量的线性运算及应用

向量线性运算的基本原则和求解策略

(1)基本原则：

向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．

(2)求解策略：

①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．

②字符表示下线性运算的常用技巧：

→→→首尾相接用加法的三角形法则，如AB＋BC＝AC；共起点两个向量作差用减法的几何意→→→义，如OB－OA＝AB．

③平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用．

→→→④注意常见结论的应用．如△ABC中，点D是BC的中点，则AB＋AC＝2AD．

【例1】

(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b的结果是(

) A．(7，－2)

C．(1，－3)

答案

A →→(2)设D为△ABC所在平面内一点，则BD＝3CD，则(

) B．(1，－2) D．(7,2) a·b，

|b|a·b．

|a|

1→4→→A．AD＝－AB＋AC

33→3→1→C．AD＝AB－AC

22答案

D →4→1→B．AD＝AB－AC

331→3→→D．AD＝－AB＋AC

22→→→【对应训练】

已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设AB＝a，BC＝b，CA＝c．

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n．

解

(1)由已知得a＝(5，－5)，

b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，a＝mb＋nc，

－6m＋n＝5，m＝－1，所以解得

－3m＋8n＝－5，n＝－1.

（二）

平面向量的数量积运算

向量数量积的两种运算方法

(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．

运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．

→→→【例2】

(1)如图所示，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(AB＋DC)·(AC→＋BD)＝________；

答案

5 →→(2)在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝2，则CM·CN的取值范围为________．

3答案

[，2] 2

π【对应训练】

已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，3则b1·b2＝________．

1解析

b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e2e2－8e21－2e1·2＝3－2×1×1×－8＝－6．

2答案

－6 （三）

平面向量的平行与垂直问题

1．证明共线问题常用的方法

(1)向量a，b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b＝λa．

(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0．

(3)向量a与b共线⇔|a·b|＝|a||b|．

(4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0．

2．证明平面向量垂直问题的常用方法

a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，

其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．

→→→→→→→→【例3】

已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP→⊥BC，则实数λ的值为________．

答案

7

12→→【对应训练】

直角坐标系xOy中，AB＝(2,1)，AC＝(3，k)，若△ABC是直角三角形，则k的可能值个数是(

) A．1

C．3

B．2

D．4 →→→→→→→→→解析

BC＝AC－AB＝(1，k－1)，若AB⊥AC，则AB·AC＝6＋k＝0得k＝－6；若AB⊥BC，→→→→→→则AB·BC＝2＋k－1＝0，得k＝－1；若AC⊥BC，则AC·BC＝3＋k2－k＝0，此方程无解，故k的可能值为－6或－1．

答案

B （四）

平面向量的模与夹角

(1)利用数量积求解长度的方法

①|a|2＝a2＝a·a；

②|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；

③若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．

(2)求两个非零向量的夹角时要注意

①向量的数量积不满足结合律；

②数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0且两个向量不共线时两个向量的夹角就是钝角．

ππ【例4】

(1)已知a，b为平面向量，若a＋b与a的夹角为，a＋b与b的夹角为，44|a|则＝________；

|b|答案

1 →→→(2)已知△ABC是正三角形，若AC－λAB与向量AC的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是________．

答案

(2，＋∞) 1【对应训练】

已知|a|＝1，a·b＝，|a－b|2＝1，则a与b的夹角等于(

) 2A．30°

C．60°

解析

设a与b的夹角为θ，

1因为a·b＝|a||b|·cos θ＝，且|a|＝1，

21所以|b|cos θ＝.①

2又|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1，即1＋|b|2－1＝1，故|b|＝1.②

1由①②得cos θ＝．

2又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°，故选C．

答案

C

B．45°

D．120°