2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示课时教案

2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

学习目标

1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.

知识点一

平面向量的正交分解

思考

如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？

梳理

把一个向量分解为________________的向量，叫做把向量正交分解. 知识点二

平面向量的坐标表示

思考1

如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?

思考2

在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1,1)，则向量a的位置确定了吗？

→→→→思考3

设向量BC＝(1,1)，O为坐标原点，若将向量BC平移到OA，则OA的坐标是多少？A点坐标是多少？

知识梳理

(1)平面向量的坐标

①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y). ②在平面直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系

表示形式不同

区别

意义不同

向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号

点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系

→已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量AB＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 例题精选

平面向量的坐标表示

→例1

如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA＝→a，AB＝b. 四边形OABC为平行四边形.

当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同

(1)求向量a，b的坐标；

→(2)求向量BA的坐标；

(3)求点B的坐标.

反思与感悟

在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围. 跟踪训练1

已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在→→→→第一象限，D为AC的中点，分别求向量AB，AC，BC，BD的坐标. 当堂训练

1.设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b等于(

) A.(7,3)

B.(7,7)

C.(1,7)

D.(1,3) 1→→→2.已知向量OA＝(3，－2)，OB＝(－5，－1)，则向量AB的坐标是(

) 21－4，

A.2C.(－8,1)

14，－

B.2D.(8,1) →→3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为(

) 712，

B.2，－

C.(3,2)

D.(1,3) A.22→→4.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC等于(

) A.(－7，－4)

C.(－1,4)

1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化. 2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的→终点坐标不是向量的坐标，此时AB＝(xB－xA，yB－yA). B.(7,4) D.(1,4)